Every-SG游戏

参考自 石家庄二中 贾志豪 IOI2009国家集训队论文 《组合游戏略述—— 浅谈 SG 游戏的若干拓展及变形》

 

一、定义

游戏规则加上 对于还没有结束的所有单一游戏，游戏者必须对其进行决策

 

二、结论

对于必胜的单一游戏，游戏者希望玩的越久越好

对于必败的单一游戏，游戏者希望越早结束越好

因为Every-SG 游戏的获胜方取决于坚持到最后的游戏者

所以

对于必胜态，需要知道最慢几步可以结束游戏

对于必败态，需要知道最快几步可以结束游戏

令step表示结束游戏的步数

那么

若状态S是结束状态，那么step(s)=0

若状态S是先手必胜态，那么step(s)=max（step(t)）+1，其中满足t是先手必败态

若状态S是先手必败态，那么step(s)=min（step(s)）+1

定理：

Every-SG 游戏先手必胜当且仅当单一游戏中最大的step为奇数。

 

三、证明

要证明结论的正确性，需证明以下三点：

1、若S为先手必胜态，则step(s)=奇数，否则step(s)=偶数

因为Every-SG 游戏的获胜方取决于坚持到最后的游戏者，所以游戏的获胜方取决于最大的step。

2、设最大的step为step_max，那么获胜方要保证游戏 在>=step_max 步结束

3、设最大的step为step_max，那么获胜方要保证所有的必败单一游戏在<=step_max步结束

这两点显然

 

证明1：数学归纳法，终止状态为先手必败态，step=0=偶数，往前推即可

证明2：

设step最大的单一游戏为A，获胜方为W

W总在A处于先手必胜态时移动A的状态，而它又希望游戏持续时间越长越好，所以只会使A的step减少1

对方总是在A处于先手必败态时移动A的状态，而处于先手必败态时，step是后继状态的step取min+1，所以对方至多使step减少1

这里的减少x指转移到step-x的后继状态

所以 游戏在>=step_max 步内结束

证明3：

设获胜方为W，其某一个必败单一游戏为B

W总是在B处于先手必败态时移动B的状态，所以他希望这个游戏越早结束越好，此时的step是后继状态的step取min+1，所以W一定会使step减少1

对方总是在B处于先手必胜态时移动B的状态，此时step是后继状态的step取max+1，所以对方至少使step减少1

所以游戏B在<=step_max 步结束

 

四、例题

hdu 3595  GG and MM 

题意：

N组石子，每组有两堆，每次可以从一堆中取走另一堆的倍数个石子，N组石子同时操作

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 1001

int sg[N][N];
int step[N][N];

int find(int a,int b)
{
    if(a>b) swap(a,b);
    if(sg[a][b]!=-1) return sg[a][b];
    int mi=1e9,mx=-1;
    for(int i=a;i<=b;i+=a)
        if(!find(a,b-i))
        {
            sg[a][b]=sg[b][a]=1;
            mx=max(mx,step[a][b-i]);
        }
        else mi=min(mi,step[a][b-i]);
    if(sg[a][b]==1)
    {
        step[a][b]=step[b][a]=mx+1;
        return true;
    }
    step[a][b]=step[b][a]=mi+1;
    return sg[a][b]=sg[b][a]=0;
}

int main()
{
    int n,a,b;
    int ans;
    memset(sg,-1,sizeof(sg));
    for(int i=0;i<N;++i) sg[0][i]=sg[i][0]=0;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            find(a,b);
            ans=max(ans,step[a][b]);
        }
        puts(ans&1 ? "MM" : "GG");
    }
}