奇奇怪怪的魔法阵

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题意：给定 \(n\) 个点和 \(m\) 条边，求出所有集合的独立子集的个数，即 \(\sum_{S \subset T}[S为独立集]\)，然后将所有集合独立集的个数以哈希方式求最终答案，即 \(ans=\sum_{T \subset N} 233^{\sum_{i \subset T} 2^i}*\sum_{S \subset T}[S为独立集]\)。

（定义独立集 \(S\) 为 \(S\) 中所有点均为孤立点，两两不相连。）

题解：根据题目显然需要枚举 \([0,2^n-1]\) 的所有集合，然后考虑如何从前面以算出来的集合继承答案。可以发现对于一个集合 \(T\)，\(T\) 可以由两个集合构成，取最方便的为 \(T\) 二进制下最低位自成一个只有一个元素的集合，其余二进制位构成另一个集合（不可以同普通状压一样枚举 \(n\) 个位置构成 \(n\) 种方法（集合无顺序），这里只取一次即可，不然会重叠）。

计算集合 \(y\) 可以用 \(\text lowbit\)函数直接取到最低位的二次幂，然后当前集合减去 \(y\) 即可得 \(x\) 集合，对于 \(y\) 与 \(x\) 集合的合并，求出 \(y\) 对应的元素位置 \(p[y]\)，将 \(x\) 也该元素位置的 \(mp\) 值（与该元素有边的元素）与，然后求 \(x\) 和与出来的结果的异或即可得到 \(x\) 集合中不与 \(y\) 冲突的点集，最后答案便是 \(f[i]=f[y]+f[x]+f[x \oplus (x\&mp[p[y]])]\)

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=(1<<26)+5;
const int mod=1e9+7;

int f[maxn],p[maxn],mp[30],n,m,x,y;
ll ans;

inline int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;i++)p[1<<i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>x>>y;
		mp[x]|=1<<y;
		mp[y]|=1<<x;
	}
	for(int i=1;i<1<<n;i++)
	{
		int y=lowbit(i),x=i-y,z=x^(x&mp[p[y]]);
		if(i==y)f[i]=1;
		else f[i]=(1ll*f[y]+1ll*f[x]+1ll*f[z])%mod;
	}
	ll up=1;
	for(int i=0;i<1<<n;i++)
	{
		ans=(ans+up*(1ll*f[i]+1)%mod)%mod; up=up*233%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}