同余
同余
定义：设m是一个正整数，设a，b是两个整数，则a\(\equiv\)b (mod m)，当且仅当 m | (a-b)，称a, b模m同余。
换句话说，a, b模m同余当且仅当a, b用欧几里得除法除以m得到的余数相等。
同余的保运算性：设m是一个正整数，设\(a_1,b_1,a_2,b_2\)有：
\(a_1\equiv b_1\)(mod m)
\(a_2\equiv b_2\)(mod m)，则：
\(a_1+a_2\equiv b_1+b_2\)(mod m)
\(a_1\cdot a_2\equiv b_1\cdot b_2\)(mod m)
同余的性质：
设m是一个正整数，设\(d\cdot a\equiv d\cdot b\) (mod m)，如果(d, m)=1，则a\(\equiv\)b (mod m)
设m是一个正整数，设a\(\equiv\)b (mod m)，d > 0，则\(d\cdot a\equiv d\cdot b\) (mod m)
设m是一个正整数，设a\(\equiv\)b (mod m)，如果d\(\mid\)m，则a\(\equiv\)b (mod d)
设\(m_1,\cdots, m_k\)是k个正整数，设a\(\equiv\)b (mod \(m_i\)) 其中\(i=1\cdots k\)，
则a\(\equiv\)b (mod[\(m_1,\cdots m_k\)])
剩余类
设m是一个正整数，对任意整数a，令
\(C_a=\lbrace c|c\in Z, c\equiv a (mod\space m) \rbrace\)，则不难证明：
i.任意一个整数必然包含在一个\(C_r\)中，\(0\le r\le m\)
ii.\(C_a=C_b\)的充分必要条件是：a\(\equiv\)b (mod m)
iii.\(C_a\)与\(C_b\)的交集非空的充分必要条件是：a\(\ne\)b (mod m)
Notation：\(C_a\)叫做模m的a的剩余类，一个剩余类中的任意一个数叫做该类的剩余或代表元。
完全剩余系
若\(r_0, \cdots r_{m-1}\)是m个整数，并且其中人恶化两个数都不在同一个剩余类里，则称\(r_0,\cdots r_{m-1}\)为模 m 的一个完全剩余系。
完全剩余系的性质：
设m是一个正整数，a是满足(a, m)=1的整数，b是任意一个整数，若集合k是遍历模m的一个完全剩余系，则ak+b也是遍历模m的一个完全剩余系。
设\(m_1, m_2\)是两个互素的正整数，若\(k_1, k_2\)分别遍历模\(m_1, m_2\)的完全剩余系，则\(m_2k_1+m_1k_2\)是遍历模\(m_1·m_2\)的一个完全剩余系。
证明.
要证明\(m_2k_1+m_1k_2\)是遍历模\(m_1m_2\)的一个完全剩余系，只需要证明\(m_2k_1+m_1k_2\)中的任意两个数不同余
反证法：设存在正整数\(k_1,k_2\)和\(k_1', k_2'\)满足：
\(m_2k_1+m_1k_2\equiv m_2k_1'+m_1k_2'\) (mod \(m_1m_2\))
则由同余的性质可以得到：
\(m_2k_1+m_1k_2\equiv m_2k_1'+m_1k_2'\) (mod \(m_1\))
\(m_2k_1\equiv m_2k_1'\) (mod \(m_1\))
\(\therefore m_1\mid (m_2k_1-m_2k_1')\)
\(m_1\mid m_2(k_1-k_1')\)
\(\because (m_1,m_2)=1\)
\(\therefore m_1\mid (k_1-k_1')\)
\(\therefore k_1\equiv k_1'\) (mod \(m_1\))
同理可得\(k_2\equiv k_2'\) (mod \(m_2\))
这与一个完全剩余系中的任意两个数不同余的事实相反
简化剩余系
简化剩余系就是把一个模m的完全剩余系中与m互素的数挑出来组成一个新的剩余系，称为简化剩余系。
形式化的定义就是设m是一个正整数，若\(r_1,\cdots, r_t\)是t个与m互素的正整数且两两模m不同余，则\(r_1,\cdots, r_t\)是模m的一个简化剩余系。
简化剩余系的性质：
设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，如果k是遍历模m的一个简化剩余系，则\(a\cdot k\)也是遍历模m的简化剩余系
设\(m_1,m_2\)是两个互素的正整数，如果\(k_1,k_2\)分别遍历模\(m_1\)和模\(m_2\)的简化剩余系，则\(m_2k_1+m_1k_2\)也是遍历模\(m_1\cdot m_2\)的简化剩余系
欧拉函数
设m是一个正整数，则m个整数\(1,\cdots,m-1,m\)中与m互素的整数的个数，记作\(\varphi(m)\)，叫做欧拉函数
欧拉函数的性质：
1）显然，当m是一个素数的时候\(\varphi(m)=m-1\)
2）设m, n是互素的两个正整数，则\(\varphi(m\cdot n)=\varphi(m)\cdot\varphi(n)\)
3）对于素数幂\(m=p^a\)有：
\(\varphi(m)=p^a-p^{a-1}=p^a(1-\frac{1}{p})\)
证明.
将\(1,2,\cdots p^a\)划分成\(p^{a-1}\)份长度为p的数组，则每个数组可以按照剩余系的概念等价于\(1,2,\cdots p\)
而\(1,2,\cdots p\)中，只有p与p不互素，那么也只有p与\(p^a\)不互素
\(\therefore 1,2,\cdots, p^a\)中与\(p^a\)不互素的整数个数为:
\(\varphi(p^a)=p^a-p^{a-1}=p^a(1-\frac{1}{p})\)
欧拉定理
设m是大于1的整数，如果a是满足(a,m)=1的整数，则\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\space m)\)
证明.
设\(r_1,r_2,\cdots r_{\varphi(m)}\)是模m的一个最小简化剩余系
\(\because (a,m)=1\)
\(\therefore ar_1,ar_2,\cdots ar_{\varphi(m)}\)也是模m的一个简化剩余系
\(\therefore ar_1\cdot ar_2\cdots ar_{\varphi(m)}\equiv r_1\cdot r_2\cdots r_{\varphi(m)}\) (mod m)
\(a^{\varphi(m)}r_1\cdot r_2\cdots r_{\varphi(m)}\equiv r_1\cdot r_2\cdots r_{\varphi(m)}\) (mod m)
\((a^{\varphi(m)}-1)r_1\cdot r_2\cdots r_{\varphi(m)}\equiv 0\) (mod m)
又\(\because r_1,r_2,\cdots r_{\varphi(m)}\)是模m的最小简化剩余系
\(\therefore (r_1,m)=(r_2,m)=\cdots=(r_{\varphi(m)},m)=1\)
\((r_1\cdot r_2\cdots r_{\varphi(m)},m)=1\)
\(\therefore a^{\varphi(m)}-1\equiv 0\)(mod m)
\(a^{\varphi(m)}\equiv 1\)(mod m)
费马小定理
设p是一个素数，则对任意整数a，有
\(a^p\equiv a\) (mod p)
证明.
i)若(a,p) \(\ne\) 1
\(\because\)p是素数
\(\therefore p\mid a\)
即a\(\equiv\) 0 (mod p)
\(a^p\equiv\) 0 (mod p)
\(a^p\equiv a\equiv\) 0 (mod m)
ii)若(a,p) = 1
\(\because\)p是素数
\(\therefore\varphi(p)=p-1\)
由欧拉定理知\(a^{\varphi(m)}\equiv 1\) (mod p)
\(a^{p-1}\equiv\) 1 (mod p)
\(a^p\equiv\) a (mod p)
Wilson定理
设p是一个素数，则(p-1)! \(\equiv\) -1 (mod p)
想要证明上面的定理需要先证明另一个定理：设m是一个正整数，a是满足(a,m)=1的整数，则存在唯一的整数a'，1 \(\le\) a'<m，使得a·a' \(\equiv\) 1 (mod m)
证明.
存在性：设\(r_1,r_2,\cdots ,r_{\varphi(m)}\)是模m的一个最小简化剩余系
\(\because (a,m)=1\)
\(\therefore ar_1,ar_2,\cdots ar_{\varphi(m)}\)也是模m的一个简化剩余系
显然，模m的简化剩余系中必然存在\(ar_n \equiv\) 1 (mod m)
唯一性：假设模m的最小简化剩余系中有a', a'', 1 \(\le\) a',a''<m 使得
a·a' \(\equiv\) 1 (mod m)
a·a'' \(\equiv\) 1 (mod m)，则
a(a'-a'') \(\equiv\) 0 (mod m)
a'-a'' \(\equiv\) 0 (mod m)
a' \(\equiv\) a'' (mod m)
有了上述的定理后，可以开始证明Wilson定理：
证明.
设p是一个素数，则任意1 \(\le\) a < p，存在唯一的1 \(\le\) a' < p
使得a·a' \(\equiv\) 1 (mod p)
而a=a'的充要条件是\(a^2\equiv\) 1 (mod m)
则a=1或a=p-1
\(\therefore (p-1)!\equiv1\cdot2\cdots (p-1)\equiv1\cdot(p-1)\Pi a\cdot a'\)
\(\equiv1(p-1)\equiv(-1)\) (mod m)
模重复平方计算
问题：如何计算 \(b^n\) (mod m)其中n是一个大的整数。
由于n是一个大整数，所以无法直接通过欧几里得除法计算\(b^n\)模m的余数
首先可以通过欧拉定理将n缩小成一个小于\(\varphi(m)\)的整数
如果\(b^n\)还是大到无法直接计算，那么就采用下面的方法进行计算：
将n写成一个二进制形式，即：
\(n=n_0+n_1\cdot 2+n_2\cdot 2^2+\cdots +n_{k-1}2^{k-1}\)
由科学计数法的性质可知\(n_{k-1}\)必然等于1
令整数a=1
1.如果\(n_0=1\)，则\(a_0\equiv(a\cdot b)\) (mod m)，否则\(a_0\equiv a\) (mod m)
令\(b_1\equiv b^2\) (mod m)
2.如果\(n_1=1\)，则\(a_1\equiv(a_0\cdot b_1)\) (mod m)，否则\(a_1\equiv a_0\) (mod m)
令\(b_2\equiv b_1^2\) (mod m)
\(\cdots\)
k.因为\(n_{k-1}=1\)，所以\(a_{k-1}\equiv (a_{k-2}\cdot b_{k-1})\) (mod m)
最终\(b^n\equiv a_{k-1}\) (mod m)
