AT2008 書き換え（Rewrite）题解

题意概述

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给出 \(n\) 和 \(m\)。分别表示物品数量和背包容量。

接下来 \(n\) 行，分别输入 \(v_i\) 和 \(w_i\) （题目中称 \(t_i\)），表示物品价值和物品重量。

解题思路

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一道简单的 01 背包 ，需要判断两种状态，分别是 取 或 不取。如果取到这个物品，可以增加价值，但会减少背包容量。

我们可以定义一个数组 \(dp\)， 用来表示各种容量时的价值。最后输出 \(dp_m\) 即可。

众所周知，01 背包 用 \(i\) 来枚举物品，用 \(j\) 来枚举重量（注意是倒序）。

所以可以有这样的代码：

for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=m;j>=w[i];j--)
			//你的状态转移方程
}

然后思考状态转移方程：

首先，我们知道每种物品可以选择取或不取。

在取的情况下，可以写出：

\[dp_j = dp_{j-w_i}+v_i \]

即 dp[j]=dp[j-w[i]]+v[i]。

在不取的情况下，亦可以有：

\[dp_j=dp_j \]

即dp[j]=dp[j]。

我们需要总价值最大，所以有状态转移方程

\[dp_j = max_{dp_{j-w_i}+v_i}^{dp[j]} \]

即 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])。

代码实现

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,v[1000005],w[1000005],dp[1000005];
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=m;j>=w[i];j--)
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
	}
	printf("%d",dp[m]);
	return 0;
}