2025省选模拟15

2025省选模拟15

题目来源： 2025多校冲刺省选模拟赛17

\(T1\) P1045. 数 \(100pts\)

  • 原题： SP6408 KKKCT2 - Counting Triangles 2 | SP5464 CT - Counting triangles

  • 考虑枚举直角顶点 \((i,j),0 \le i \le x,0 \le j \le y\)，然后分为了 \(8\) 种贡献情况。

  • 设 \(\begin{cases} a=\min(i,y-j) \\ b=\min(x-i,j) \\ c=\min(i,j) \\ d=\min(x-i,y-j) \end{cases}\) ， \(8\) 种情况的贡献分别为 \(a,d,b,c,ad,bd,ac,ad\) ，加起来后得到 \((a+b+1)(c+d+1)-1\) ，但没有什么可以优化的地方。

  • 观察乘积项，以 \(ac\) 为例，考虑固定 \(i\) 这个常量，统计 \(j\) 的贡献，分讨 \(0,y-j,j,y\) 划分成的三个区间内部的转移即可。

    点击查看代码 
    const ll p=20120712;
ll s1(ll n)
{
    return n*(n+1)/2;
}
ll s2(ll n)
{
    return n*(n+1)*(2*n+1)/6;
}
ll ask(ll up,ll a,ll b)
{
    ll ans=0;
    ans+=s1(min(a,up))+max(0ll,(up-a))*a;//2e8
    ans+=s2(min(min(a,b)-1,up));//2e12
    if(min(min(a,b)-1,up)<min(max(a,b),up))
        ans+=(min(min(a,b)-1,up)+1+min(max(a,b),up))*(min(max(a,b),up)-min(min(a,b)-1,up))/2*min(a,b);//2e12
    ans+=max(0ll,(up-max(a,b)))*a*b;//1e12
    return ans;
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
#endif
    int t,x,y,i,j;
    ll ans;
    cin>>t;
    for(;t>=1;t--)
    {
        cin>>x>>y;  ans=0;
        // a=min(i,y-j),b=min(x-i,j),c=min(i,j),d=min(x-i,y-j)
        for(i=0;i<=x;i++)
        {
            ans+=ask(y,i,x-i);// bc+c
            ans+=ask(y,x-i,i);// ad+d
        }
        for(i=0;i<=y;i++)
        {
            ans+=ask(x,y-i,i);// ac+a
            ans+=ask(x,i,y-i);// bd+b
        }
        cout<<ans%p<<endl;
    }	
    return 0;
}

\(T2\) P1047. 树 \(10pts\)

  • 部分分

    • \(10pts\) ：去大样例里把 \(n \le 8\) 的数据粘过来。

  • 正解

    • 拼劲全力无法战胜。

    点击查看 std 
    #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, T;
long long mod, mat[31][2][2];
int main() {
    freopen("tree.in", "r", stdin);
    freopen("tree.out", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);
    mat[0][0][0] = 0;
    mat[0][0][1] = 1;
    mat[0][1][0] = 1;
    mat[0][1][1] = 1;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n >> mod;
        mod *= n;
        int tmp = n;
        vector<int> pr, fac;
        for (int i = 2; i <= sqrt(tmp); i++)
            if (tmp % i == 0) {
                pr.push_back(i);
                while (tmp % i == 0) tmp /= i;
            }
        if (tmp != 1) pr.push_back(tmp);
        for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++)
            if (n % i == 0) {
                fac.push_back(i);
                if (i * i != n) fac.push_back(n / i);
            }
        for (int i = 1; i < 31; i++) {
            mat[i][0][0] = (__int128(mat[i - 1][0][0]) * mat[i - 1][0][0] +
                            __int128(mat[i - 1][0][1]) * mat[i - 1][1][0]) %
                        mod;
            mat[i][0][1] = (__int128(mat[i - 1][0][0]) * mat[i - 1][0][1] +
                            __int128(mat[i - 1][0][1]) * mat[i - 1][1][1]) %
                        mod;
            mat[i][1][0] = (__int128(mat[i - 1][1][0]) * mat[i - 1][0][0] +
                            __int128(mat[i - 1][1][1]) * mat[i - 1][1][0]) %
                        mod;
            mat[i][1][1] = (__int128(mat[i - 1][1][0]) * mat[i - 1][0][1] +
                            __int128(mat[i - 1][1][1]) * mat[i - 1][1][1]) %
                        mod;
        }
        long long ans = 0;
        for (auto i : fac) {
            int phi = n / i;
            for (auto j : pr)
                if (phi % j == 0) phi = phi / j * (j - 1);
            long long f[2] = {1, 1}, g[2];
            for (int j = 0; j < 31; j++)
                if (i + i - 2 & (1 << j)) {
                    g[0] = (__int128(f[0]) * mat[j][0][0] +
                            __int128(f[1]) * mat[j][1][0]) %
                        mod;
                    g[1] = (__int128(f[0]) * mat[j][0][1] +
                            __int128(f[1]) * mat[j][1][1]) %
                        mod;
                    f[0] = g[0];
                    f[1] = g[1];
                }
            ans = (ans + __int128(phi) * (f[0] + f[0] + f[1] - 2)) % mod;
        }
        cout << ans / n << '\n';
    }
}

\(T3\) P1046. 书 \(0pts\)

  • 原题： HDU2484 Build the Tower

  • 对书进行排序后，有 \(f_{S}=1+\frac{1}{c+1}(f_{S \bigoplus \operatorname{lowbit}(S)}+\sum\limits f_{S|(1<<i)})\) 。从 \(S \bigoplus \operatorname{lowbit}(S)\) 向 \(S\) 连一条有向边得到树形关系后考虑树上高斯消元。

  • 观察到实际上栈顶元素和厚度和相同时，后续决策是相同的，于是状态数从 \(O(2^{n})\) 优化到了 \(O(nm)\) 。

  • 此时有 \(f_{x}=1+\frac{1}{c+1}f_{fa_{x}}+\frac{\sum\limits_{y \in \operatorname{Son}(x)}f_{y}}{c+1}=a_{x}f_{fa_{x}}+b_{x}\) ，解得 \(a_{x}=\frac{1}{(c+1)(1-\frac{1}{c+1}\sum\limits_{y \in \operatorname{Son}(x)}a_{y})},b_{x}=\frac{1+\frac{1}{c+1}\sum\limits_{y \in \operatorname{Son}(x)}b_{y}}{1-\frac{1}{c+1}\sum\limits_{y \in \operatorname{Son}(x)}a_{y}}\) 。

  • 实际实现时，可以设 \(f_{i,j}\) 表示栈顶为 \(i\) 厚度和为 \(j\) 的期望，从 \(f_{k,j+b'_{k}}\) 转移而来；加入一个根节点 \(n+1\) 取 \(f_{n+1,0}\) 作为答案。

    点击查看代码 
    pair<int,int>c[110];
double a[110][110],b[110][110];
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("book.in","r",stdin);
    freopen("book.out","w",stdout);
#endif
    int n,m,cnt,i,j,k;
    double suma,sumb;
    while(cin>>n>>m)
    {
        c[n+1].first=101;
        for(i=1;i<=n;i++)  cin>>c[i].first>>c[i].second;
        sort(c+1,c+1+n);
        for(i=1;i<=n+1;i++)
        {
            for(j=0;j<=m;j++)
            {
                cnt=suma=sumb=0;
                for(k=1;k<=i;k++)  cnt+=(c[k].first<c[i].first);
                for(k=1;k<=i;k++)
                {
                    if(c[k].first<c[i].first&&j+c[k].second<=m)
                    {
                        suma+=a[k][j+c[k].second];
                        sumb+=b[k][j+c[k].second];
                    }
                }
                a[i][j]=1/(1-suma/(cnt+1))/(cnt+1);
                b[i][j]=(sumb/(cnt+1)+1)/(1-suma/(cnt+1));
            }
        }
        if(b[n+1][0]>18000)  cout<<"INF"<<endl;
        else  printf("%.3lf\n",b[n+1][0]);
    }
    return 0;
}

总结

  • \(T2\) 尝试拉格朗日插值但因为不保证模数是质数，遂无果。
posted @ 2025-02-24 20:45  hzoi_Shadow  阅读(340)  评论(0)    收藏  举报
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