2025省选模拟11

题目来源： 2024省选联测22

\(T1\) HZTG5881. 送信 \(100pts\)

原题： CF838D Airplane Arrangements

部分分

\(50pts\) ：爆搜。

点击查看代码

const ll p=998244353;
ll vis[5010],ans=0;
void dfs(ll pos,ll n,ll m)
{
    if(pos==m+1)  ans=(ans+1)%p;
    else
    {
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        {
            for(ll j=i;j>=1;j--)
            {
                if(vis[j]==0)
                {
                    vis[j]=1;
                    dfs(pos+1,n,m);
                    vis[j]=0;
                    break;
                }
            }
            for(ll j=i;j<=n;j++)
            {
                if(vis[j]==0)
                {
                    vis[j]=1;
                    dfs(pos+1,n,m);
                    vis[j]=0;
                    break;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("postbox.in","r",stdin);
    freopen("postbox.out","w",stdout);
#endif
    ll n,m,i;
    cin>>n>>m;
    dfs(1,n,m);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

正解
- 通过爆搜打出 \(n \le 10,m \le 8\) 的表，易得 \(2(2n+2)^{m-1}(n-m+1)\) 即为所求。
  
  点击查看打表经过
  
  猜测可能有递推式，可能与对角线有关。
  
  对于 \(m=1\) 的情况，有 \(2n\) 即为所求。
  
  对于 \(m=2\) 的情况，发现与左下角的 \(2(n+1)=2n+2\) 直接的倍数关系成 \(2,4,6,8,\dots\) 变化，有 \(2(2n+2)(n-1)=4(n^{2}-1)\) 即为所求。
  
  对于 \(m=3\) 的情况，其与左下角 \(4(n^{2}-1)\) 基本没什么关系，选择再除掉一个 \(2n+2\) ，分别得到 \(16,40,72,112,160 \dots\) ，差分下得到 \(16,24,32,40,48,\dots\) ，有 \((2n+2)4(n-2)(n+1)=2(2n+2)^{2}(n-2)=8(n^{2}-n-2)\) 即为所求。猜测后续可能需要拉格朗日插值把系数插出来。
  
  对于 \(m=4\) 的情况，猜测含有因式 \((2n+2)^{3}\) ，得到其他部分为 \(2(n-3)\) 。大致形式能进行因式分解，拉格朗日插值没什么意义了。
  
  大胆猜测 \(2(2n+2)^{m-1}(n-m+1)\) 即为所求。验证后续数据及大样例发现能过。
- 将链连接成环，在 \(1\) 和 \(n\) 之间用 \(n+1\) 相连，此时的操作为每次选择一个点并选择是顺时针走还是逆时针走，要求不能走到 \(n+1\) 。
- 考虑统计概率，不妨认为在 \(n+1\) 开始也是合法的，同时每个点被选中时相互独立，所以不在第一个点经过 \(n+1\) 的概率为 \(\frac{n+1-m}{n+1}\) 。故 \((2n+2)^{m}\frac{n+1-m}{n+1}=2^{m}(n+1)^{m}(n-m+1)\) 即为所求，与我们打表得到的式子一致。
点击查看代码
```
const ll p=998244353;
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("postbox.in","r",stdin);
    freopen("postbox.out","w",stdout);
#endif
    ll n,m;
    cin>>n>>m;
    cout<<2*qpow(2*(n+1)%p,m-1,p)%p*((n-m+1)%p)%p<<endl;
    return 0;
}
```

\(T2\) HZTG5882. 饺子 \(20pts\)

部分分

随机 \(pts\) ：乱搞。

点击查看代码

pair<ll,ll>a[300010];
vector<ll>pos[300010];
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("zongzi.in","r",stdin);
    freopen("zongzi.out","w",stdout);
#endif
    ll n,sum,i,j;
    scanf("%lld",&n);
    for(i=1;i<=2*n-1;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i].first);  a[i].second=i;
        pos[a[i].first].push_back(i);
    }
    for(i=0;i<=n-1;i++)
    {
        if(pos[i].size()>=n)
        {
            for(j=0;j<=n-1;j++)  printf("%lld ",pos[i][j]);
            printf("\n");
            return 0;
        }
    }
    for(j=1;j<=4000;j++)
    {
        random_shuffle(a+1,a+1+2*n-1);
        sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++)  sum+=a[i].first;
        if(sum%n==0)
        {
            for(i=1;i<=n;i++)  printf("%lld ",a[i].second);
            printf("\n");
            return 0;
        }
        sum=0;
        for(i=n;i<=2*n-1;i++)  sum+=a[i].first;
        if(sum%n==0)
        {
            for(i=n;i<=2*n-1;i++)  printf("%lld ",a[i].second);
            printf("\n");
            return 0;
        }
    }
    printf("-1\n");
    return 0;
}

正解

在题目的限制条件下，任意 \(n-1\) 个非 \(0\) 数字的子集合取遍模 \(n\) 的完全剩余系。证明考虑扩展时一旦出现扩展失败说明已经是取遍模 \(n\) 的完全剩余系了，否则每次至少扩展 \(1\) 个数。
先特判下众数次数 \(\ge n\) 的情况。然后将所有数分成 \(n-1\) 个数对和一个单独的数，不妨钦定一定选择单独的数，然后决定每个数对内部选择哪个数即可。
先将较小的数选择了，然后考虑调整/替换。使用 bitset 优化或树状数组维护哈希值加二分，同时记录下路径即可，写法和 2025省选模拟5 T2 HZTG5844. A Dance of Fire and Ice 差不多。

点击查看代码

int w[600010],vis[600010],opt[600010];
pair<int,int>a[600010];
vector<int>pos[600010];
bitset<600010>f,g,tmp;
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("zongzi.in","r",stdin);
    freopen("zongzi.out","w",stdout);
#endif
    int n,m,sum=0,i,j;
    cin>>n;  m=2*n-1;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>a[i].first;  a[i].second=i;
        pos[a[i].first].push_back(i);
    }
    for(i=0;i<=n-1;i++)
    {
        if(pos[i].size()>=n)
        {
            for(j=0;j<=n-1;j++)  cout<<pos[i][j]<<" ";
            return 0;
        }
    }
    sort(a+1,a+1+m);  sum=a[m].first;
    for(i=1;i<=n-1;i++)  
    {
        sum=(sum+a[i].first)%n;
        w[i]=a[i+n-1].first-a[i].first;
    }
    if(sum==0)
    {
        for(i=1;i<=n-1;i++)  cout<<a[i].second<<" ";
        cout<<a[m].second<<endl;
    }
    else
    {
        sum=(n-sum)%n;  vis[a[m].second]=1;
        for(i=1;i<=n-1;i++)  vis[a[i].second]=1;
        f[0]=1;
        for(i=1;i<=n-1;i++)
        {
            g=f;
            f|=(f<<(w[i]))|(f>>(n-w[i]));
            tmp=f^g;
            for(j=tmp._Find_first();j<=n-1;j=tmp._Find_next(j))  opt[j]=i;
            if(f[sum]==1)
            {
                for(;sum!=0;sum=(sum+n-w[opt[sum]])%n)
                    swap(vis[a[opt[sum]].second],vis[a[opt[sum]+n-1].second]);
                for(j=1;j<=m;j++)  if(vis[j]==1)  cout<<j<<" ";
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

\(T3\) HZTG5883. 机关 \(0pts\)

拼尽全力，无法战胜。

点击查看代码

ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ans=ans*a%p;
        b>>=1;
        a=a*a%p;
    }
    return ans;
}
ll C(ll n,ll m,ll p)
{
    if(n>=m&&n>=0&&m>=0)
    {
        ll up=1,down=1;
        for(ll i=n-m+1;i<=n;i++)  up=up*i%p;
        for(ll i=1;i<=m;i++)  down=down*i%p;
        return up*qpow(down,p-2,p)%p;
    }
    else  return 0;
}
int main()
{
#define Isaac
#ifdef Isaac
    freopen("game.in","r",stdin);
    freopen("game.out","w",stdout);
#endif
    ll n,k,p;
    cin>>n>>k>>p;
    cout<<(C(n+k-3,n-2,p)-C(n+k-3,n,p)+p)%p*qpow(2,max(0ll,n-k-1),p)%p<<endl;
    return 0;
}

总结

\(T1\) 在 \(9:30\) 左右打完表测样例时发现 qpow(2*(n+1),m-1,p) 传进去后 2*(n+1) 炸 long long 了，改了之后就交了。在 \(11:57\) 的时候发现后面 (n-m+1) 相乘时也炸 long long 了，改完后马上交了。

\(T2\) 赛时下发了 \(checker\) 。

点击查看代码

#include "testlib.h"
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 6e5 + 10;

int n;
int a[N];
int x[N];

int main(int argc, char** argv) {
    registerTestlibCmd(argc, argv);
    n = inf.readInt();
    for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; ++i) {
        a[i] = inf.readInt();
    }
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        x[i] = ouf.readInt();
        sum = (sum + a[x[i]]) % n;
    }
    if (sum) {
        quitf(_wa, "yiw?/kk");
    }
    sort(x + 1, x + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (x[i] == x[i - 1]) {
            quitf(_wa, "/qd");
        }
        if (x[i] < 1 || x[i] > 2 * n - 1) quitf(_wa, "/cf");
    }
    quitf(_ok, "AC");
    return 0;
}

\(T3\) 一开始读成问有多少个合法的生成操作序列了。

posted @ 2025-02-17 20:33 hzoi_Shadow 阅读(284) 评论(7) 收藏举报

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世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……

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\(T1\) HZTG5881. 送信 \(100pts\)

\(T2\) HZTG5882. 饺子 \(20pts\)

\(T3\) HZTG5883. 机关 \(0pts\)

总结

公告

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世上只有一种英雄主义，就是认清生活的真相后，依然热爱生活。 纵使世界万般残酷，总有温暖值得守护……

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