10.网络流

网络流

开题顺序： \(BEFKQCRDGPAHT\)

\(A\) luogu P3511 [POI 2010] MOS-Bridges

考虑二分答案，现在需要解决的问题是将某些双向边进行定向。
入度和出度的和是固定的，考虑每条边对端点入度的改变量跑最大流判是否能满流即可。

最后根据满流的边跑一遍求解欧拉回路。

点击查看代码

const int inf=0x3f3f3f3f;
int u[2010],v[2010],w[2][2010],du[2010],cur[2010],vis[2010];
vector<pair<int,int> >e[2010];
stack<int>s;
struct MaxFlow
{
	struct node
	{
		int nxt,to,cap,flow;
	}e[40010];
	int head[4010],dis[4010],vis[4010],cur[4010],cnt=1;
	void clear()
	{
		memset(e,0,sizeof(e));
		memset(head,0,sizeof(head));
		cnt=1;
	}
	void add(int u,int v,int w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool bfs(int s,int t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<int>q;
		dis[s]=1;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			int x=q.front();  q.pop();
			for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(vis[e[i].to]==0&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+1;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
					if(e[i].to==t)  return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	int dfs(int x,int t,int flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		int sum=0,tmp;
		for(int i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(dis[e[i].to]==dis[x]+1&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				if(tmp==0)  dis[e[i].to]=0;
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
			}
		}
		return sum;
	}
	int Dinic(int s,int t)
	{
		int flow=0;
		while(bfs(s,t)==true)  flow+=dfs(s,t,inf);
		return flow;
	}
}F;
bool check(int n,int m,int mid,int sum)
{
	F.clear();
	int s=n+m+1,t=n+m+2;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		F.add(s,n+i,1);
		if(w[0][i]<=mid)  F.add(n+i,v[i],1);
		if(w[1][i]<=mid)  F.add(n+i,u[i],1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)  F.add(i,t,du[i]/2);
	return F.Dinic(s,t)>=sum;
}
void dfs(int x,int fa)
{
	for(int i=cur[x];i<e[x].size();i=max(i+1,cur[x]))
	{
		if(vis[e[x][i].second]==0)
		{
			vis[e[x][i].second]=1;
			cur[x]=i+1;
			dfs(e[x][i].first,e[x][i].second);
		}
	}
	if(fa!=0)  s.push(fa);
}
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	int n,m,l=0,r=1000,mid,ans=0,flag=1,sum=0,i,j;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>u[i]>>v[i]>>w[0][i]>>w[1][i];
		du[u[i]]++;  du[v[i]]++;
		l=max(l,min(w[0][i],w[1][i]));
	}
	for(i=1;i<=n;i++)  
	{
		flag&=(du[i]%2==0);  sum+=du[i]/2;
	}
	if(flag==0)  cout<<"NIE"<<endl;
	else
	{
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)/2;
			if(check(n,m,mid,sum)==true)
			{
				ans=mid;
				r=mid-1;
			}
			else
			{
				l=mid+1;
			}
		}
		cout<<ans<<endl;
		check(n,m,ans,sum);
		for(i=1;i<=m;i++)
		{
			for(j=F.head[n+i];j!=0;j=F.e[j].nxt)
			{
				if(F.e[j].cap==F.e[j].flow)
				{
					if(F.e[j].to==v[i])  e[u[i]].push_back(make_pair(v[i],i));
					else  e[v[i]].push_back(make_pair(u[i],i));
				}
			}
		}
		dfs(1,0);
		while(s.empty()==0)  
		{
			cout<<s.top()<<" ";
			s.pop();
		}
	}
	return 0;
}

\(B\) luogu P2517 [HAOI2010] 订货

题解

\(C\) luogu P3358 最长k可重区间集问题

题解

\(D\) luogu P4001 [ICPC-Beijing 2006] 狼抓兔子

题解

\(E\) luogu P4897 【模板】最小割树（Gomory-Hu Tree）

题解

\(F\) luogu P4043 [AHOI2014/JSOI2014] 支线剧情

题解

\(G\) UVA1306 The K-League

考虑每两场队伍之间的比赛向两个队伍之间连边来分配胜负，通过判断最大流是否等于总比赛数得到是否合法。

特判无论如何都不能获胜的情况。

点击查看代码

const int inf=0x3f3f3f3f;
int w[50],a[50][50],sum[50];
vector<int>ans;
struct MaxFlow
{
	struct node
	{
		int nxt,to,cap,flow;
	}e[12010];
	int head[1510],dis[1510],vis[1510],cur[1510],cnt=1;
	void clear()
	{
		memset(e,0,sizeof(e));
		memset(head,0,sizeof(head));
		cnt=1;
	}
	void add(int u,int v,int w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool bfs(int s,int t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<int>q;
		dis[s]=1;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			int x=q.front();  q.pop();
			for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(vis[e[i].to]==0&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+1;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
					if(e[i].to==t)  return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	int dfs(int x,int t,int flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		int sum=0,tmp;
		for(int i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(dis[e[i].to]==dis[x]+1&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				if(tmp==0)  dis[e[i].to]=0;
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
			}
		}
		return sum;
	}
	int Dinic(int s,int t)
	{
		int flow=0;
		while(bfs(s,t)==true)  flow+=dfs(s,t,inf);
		return flow;
	}
}F;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	int tesecase,n,s,t,x,num,flag,i,j,k;
	cin>>tesecase;
	for(;tesecase>=1;tesecase--)
	{
		ans.clear();
		cin>>n;  num=0;  s=n*n+n+1;  t=n*n+n+2;
		for(i=1;i<=n;i++)  cin>>w[i]>>x;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			sum[i]=w[i];
			for(j=1;j<=n;j++)  
			{
				cin>>a[i][j];  
				num+=a[i][j];  sum[i]+=a[i][j];
			}
		}
		num/=2;
		for(k=1;k<=n;k++)
		{
			F.clear();  flag=1;
			for(i=1;i<=n;i++)
			{
				for(j=i+1;j<=n;j++)
				{
					F.add(s,(i-1)*n+j,a[i][j]);
					F.add((i-1)*n+j,n*n+i,a[i][j]);
					F.add((i-1)*n+j,n*n+j,a[i][j]);
				}
				F.add(n*n+i,t,sum[k]-w[i]);
				flag&=(sum[k]-w[i]>=0);
			}
			if(flag==1&&F.Dinic(s,t)==num)  ans.push_back(k);
		}
		for(i=0;i<ans.size();i++)
		{
			cout<<ans[i];
			if(i!=ans.size()-1)  cout<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

\(H\) luogu P5458 [BJOI2016] 水晶

将三维坐标 \((x,y,z)\) 转换成 \((x-z,y-z)\) 。
两种共振本质相同，都可以写成三个连通的单元使得横纵坐标和 \(\bmod 3\) 后 \(=0,1,2\) 各一次，其中 \(\bmod 3=0\) 的有能量源。

拆点并建出三分图后跑最小割即可。

点击查看代码

const int inf=0x3f3f3f3f,dx[6]={1,0,-1,0,-1,1},dy[6]={0,-1,0,1,-1,1};
map<pair<int,int>,int>c,id;
map<pair<int,int>,int>::iterator it;
struct MinCut
{
	struct node
	{
		int nxt,to,cap,flow;
	}e[800010];
	int head[100010],dis[100010],vis[100010],cur[100010],cnt=1;
	void add(int u,int v,int w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool bfs(int s,int t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		queue<int>q;
		dis[s]=1;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			int x=q.front();  q.pop();
			for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(vis[e[i].to]==0&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+1;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
					if(e[i].to==t)  return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	int dfs(int x,int t,int flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		int sum=0,tmp;
		for(int i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(dis[e[i].to]==dis[x]+1&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				if(tmp==0)  dis[e[i].to]=0;
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
			}
		}
		return sum;
	}
	int Dinic(int s,int t)
	{
		int flow=0;
		while(bfs(s,t)==true)  flow+=dfs(s,t,inf);
		return flow;
	}
}C;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	int n,s,t,tot,x,y,z,_x,_y,w,sum=0,i;
	cin>>n;  s=1;  tot=t=2;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x>>y>>z>>w;  x-=z;  y-=z;
		w*=(10+(((x+y)%3+3)%3==0));
		c[make_pair(x,y)]+=w;  sum+=w;
	}
	for(it=c.begin();it!=c.end();it++)
	{
		tot++;  id[it->first]=tot;
		tot++;  C.add(id[it->first],tot,it->second);
	}
	for(it=c.begin();it!=c.end();it++)
	{
		x=it->first.first;  y=it->first.second;
		if(((x+y)%3+3)%3==1)  C.add(id[it->first]+1,t,inf);
		else
		{
			if(((x+y)%3+3)%3==2)  C.add(s,id[it->first],inf);
			for(i=0;i<=5;i++)
			{
				_x=x+dx[i];  _y=y+dy[i];
				if(c.find(make_pair(_x,_y))!=c.end()&&((x+y)%3+3+1)%3==((_x+_y)%3+3)%3)
					C.add(id[it->first]+1,id[make_pair(_x,_y)],inf);
			}
		}
	}
	printf("%.1lf\n",(sum-C.Dinic(s,t))/10.0);
	return 0;
}

\(I\) CF724E Goods transportation

\(J\) CF1288F Red-Blue Graph

\(K\) luogu P2805 [NOI2009] 植物大战僵尸

题解

\(L\) CF1404E Bricks

\(M\) luogu P8291 [省选联考 2022] 学术社区

\(N\) luogu P4076 [SDOI2016] 墙上的句子

\(O\) luogu P5470 [NOI2019] 序列

\(P\) luogu P4066 [SHOI2003] 吃豆豆

两条路径不能互相穿过很诈骗。拆成入点和出点后从源点找 \(2\) 条路径即可。

需要精细实现一下连边。具体地，对于形如 \(i \to j \to k\) 的路径，我们只保留 \(i \to j,j \to k\) 两条路径而不保留 \(i \to k\) ，即只与右侧必须要走的点连边。

点击查看代码

const int inf=0x3f3f3f3f;
pair<int,int>a[2010];
struct MaxFlowMaxCost
{
	struct node
	{
		int nxt,to,w,cap,flow;
	}e[750010];
	int head[4010],dis[4010],vis[4010],cur[4010],cnt=1,cost;
	void add(int u,int v,int w,int _w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,_w,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,-_w,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool spfa(int s,int t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
		queue<int>q;
		dis[s]=0;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			int x=q.front();  q.pop();
			vis[x]=0;
			for(int i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(dis[e[i].to]<dis[x]+e[i].w&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					if(vis[e[i].to]==0)
					{
						q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
					}
				}
			}
		}
		return dis[t]>0;
	}
	int dfs(int x,int t,int flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		vis[x]=1;
		int sum=0,tmp;
		for(int i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(vis[e[i].to]==0&&dis[e[i].to]==dis[x]+e[i].w&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
				cost+=tmp*e[i].w;
			}
		}
		vis[x]=0;
		return sum;
	}
	int Dinic(int s,int t)
	{
		cost=0;
		while(spfa(s,t)==true)  while(dfs(s,t,inf)!=0);
		return cost;
	}
}C;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	int n,minn,s,_s,t,i,j;
	cin>>n;  _s=2*n+1;  s=2*n+2;  t=2*n+3; 
	for(i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i].first>>a[i].second;
	sort(a+1,a+1+n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		C.add(s,i,inf,0);  C.add(i+n,t,inf,0);
		C.add(i,i+n,1,1);  C.add(i,i+n,2,0);
		minn=inf;
		for(j=i+1;j<=n;j++)
		{	
			if(a[j].second>=a[i].second&&a[j].second<minn)
			{
				C.add(i+n,j,2,0);
				minn=a[j].second;
			}
		}
	}
	C.add(_s,s,2,0);
	cout<<C.Dinic(_s,t)<<endl;
	return 0;	
}

\(Q\) luogu P4553 80人环游世界

题解

\(R\) luogu P3980 [NOI2008] 志愿者招募

题解

\(S\) luogu P6122 [NEERC 2016] Mole Tunnels

\(T\) luogu P5331 [SNOI2019] 通信

将一个点 \(i\) 拆成两个点 \(i,i'\) ，分别用于直接连接到控制中心和被后面某个哨站连接。
从 \(s\) 向 \(i\) 连一条 \(c=1,w=0\) 的边，从 \(i\) 向 \(t\) 连一条 \(c=1,w=W\) 的边，从 \(i'\) 向 \(t\) 连一条 \(c=1,w=0\) 的边，从 \(i\) 向 \(j'(j<i)\) 连一条 \(c=1,w=|a_{i}-a_{j}|\) 的边。取到最大流时合法。
暴力连边的边数是 \(O(n^{2})\) 的，需要进一步优化。

考虑分治优化建图，具体地，将 \([l,r]\) 内的 \(a_{i}\) 升序排序后得到一条虚链， \([mid+1,r]\) 内的点向虚链连边，虚链上的点向 \([l,mid]\) 内的点连边，此时边数缩小到了 \(O(n \log n)\) ，可以接受。

点击查看代码

const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll a[1010],b[1010],id[2][1010],s,t,tot;
struct MaxFlowMinCost
{
	struct node
	{
		ll nxt,to,w,cap,flow;
	}e[5000010];
	ll head[13010],dis[13010],vis[13010],cur[13010],cnt=1,cost;
	void add(ll u,ll v,ll w,ll _w)
	{
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[u],v,_w,w,0};  head[u]=cnt;
		cnt++;  e[cnt]=(node){head[v],u,-_w,0,0};  head[v]=cnt;
	}
	bool bfs(ll s,ll t)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
		queue<ll>q;
		dis[s]=0;  cur[s]=head[s];
		q.push(s);  vis[s]=1;
		while(q.empty()==0)
		{
			ll x=q.front();  q.pop();
			vis[x]=0;
			for(ll i=head[x];i!=0;i=e[i].nxt)
			{
				if(dis[e[i].to]>dis[x]+e[i].w&&e[i].cap>e[i].flow)
				{
					dis[e[i].to]=dis[x]+e[i].w;  cur[e[i].to]=head[e[i].to];
					q.push(e[i].to);  vis[e[i].to]=1;
				}
			}
		}
		return dis[t]<inf;
	}
	ll dfs(ll x,ll t,ll flow)
	{
		if(x==t)  return flow;
		vis[x]=1;
		ll sum=0,tmp;
		for(ll i=cur[x];i!=0&&sum<flow;i=e[i].nxt)
		{
			cur[x]=i;
			if(vis[e[i].to]==0&&dis[e[i].to]==dis[x]+e[i].w&&e[i].cap>e[i].flow)
			{
				tmp=dfs(e[i].to,t,min(e[i].cap-e[i].flow,flow-sum));
				sum+=tmp;
				e[i].flow+=tmp;  e[i^1].flow-=tmp;
				cost+=tmp*e[i].w;
			}
		}
		vis[x]=0;
		return sum;
	}
	ll Dinic(ll s,ll t)
	{
		cost=0;
		while(bfs(s,t)==true)  while(dfs(s,t,inf)!=0);
		return cost;
	}
}F;
void solve(ll l,ll r)
{
	if(l==r)  return;
	ll mid=(l+r)/2;
	solve(l,mid);  solve(mid+1,r);
	b[0]=0;
	for(ll i=l;i<=r;i++)
	{
		b[0]++;  b[b[0]]=a[i];
	}
	sort(b+1,b+1+b[0]);  b[0]=unique(b+1,b+1+b[0])-(b+1);
	for(ll i=1;i<=b[0]-1;i++)
	{
		F.add(tot+i,tot+i+1,inf,b[i+1]-b[i]);
		F.add(tot+i+1,tot+i,inf,b[i+1]-b[i]);
	}	
	for(ll i=l;i<=r;i++)
	{
		ll pos=lower_bound(b+1,b+1+b[0],a[i])-b;
		if(i<=mid)  F.add(tot+pos,id[1][i],1,0);
		else  F.add(id[0][i],tot+pos,1,0);
	}
	tot+=b[0];
}
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	ll n,w,i;
	cin>>n>>w;  s=1;  tot=t=2;
	for(i=1;i<=n;i++)  
	{
		cin>>a[i];
		tot++;  id[0][i]=tot;
		tot++;  id[1][i]=tot;
		F.add(s,id[0][i],1,0);  F.add(id[0][i],t,1,w);  F.add(id[1][i],t,1,0);
	}
	solve(1,n);
	cout<<F.Dinic(s,t)<<endl;
	return 0;
}

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posted @ 2025-02-14 17:51 hzoi_Shadow 阅读(248) 评论(5) 收藏举报

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