5.贪心

贪心

开题顺序： \(IHCJEBAD\)

\(A\) [AGC032E] Modulo Pairing

  • 若没有 \(\bmod m\) 的限制，将 \(\{ a \}\) 升序排序后取第 \(i\) 大和第 \(i\) 小进行匹配，调整法即可证明。

    • 以 \(a \le b \le c \le d\) 为例，由 \(\begin{cases} a+c \le b+c \le b+d \\ a+d \le b+d \end{cases}\) ，可知 \(\max(a+d,b+c) \le \max(a+c,b+d)\) 。

  • 类似 [ABC353C] Sigma Problem ，加上 \(\bmod m\) 的限制后一定会被一个分界点分成左右两部分，左右两部分分别取第 \(i\) 大和第 \(i\) 小进行匹配。

    • 证明仍考虑调整法，假设 \(a \le b \le c \le d\) 。
      • \(a,b,c,d\) 任意两数相加的和 \(<m,\ge m\) 的情况同上。
      • 不妨假设 \(a+b<m,c+d \ge m\) 。
      • 若 \(a+c \ge m,b+d \ge m\) ，显然有 \(\begin{cases} \max(a+b,c+d-m) \le \max(a+c-m,b+d-m) \\ \max(a+b,c+d-m) \le \max(b+c-m,a+d-m) \end{cases}\) 。
      • 若 \(a+d<m,b+c \ge m\) ，显然有 \(\begin{cases} \max(a+b,c+d-m) \le \max(a+c,b+d-m) \\ \max(a+b,c+d-m) \le \max(b+c-m,a+d) \end{cases}\) 。

  • 在满足右边条件的限制下分界点越靠左越好，二分判断即可。

    点击查看代码 
    ll a[200010];
bool check(ll mid,ll n,ll m)
{
	for(ll i=mid+1,j=n;i<=j;i++,j--)
	{
		if(a[i]+a[j]<m)
		{
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	ll n,m,ans=0,l,r,mid,pos=0,i,j;
	cin>>n>>m;
	n*=2;
	l=0;
	r=n/2;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if(check(mid*2,n,m)==true)
		{
			pos=mid*2;
			r=mid-1;
		}
		else
		{
			l=mid+1;
		}
	}
	for(i=1,j=pos;i<=j;i++,j--)
	{
		ans=max(ans,a[i]+a[j]);
	}
	for(i=pos+1,j=n;i<=j;i++,j--)
	{
		ans=max(ans,a[i]+a[j]-m);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(B\) luogu P3265 [JLOI2015] 装备购买

\(C\) luogu P1484 种树

  • 学习笔记

  • 反悔贪心板子。

    点击查看代码 
    priority_queue<pair<ll,ll> >q;
ll a[300010],pre[300010],suf[300010],vis[300010];
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	ll n,k,ans=0,pos,i;
	cin>>n>>k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		pre[i]=i-1;
		suf[i]=i+1;
		q.push(make_pair(a[i],i));
	}
	a[0]=a[n+1]=-0x3f3f3f3f;
	for(i=1;i<=k;i++)
	{
		while(q.empty()==0&&vis[q.top().second]==1)
		{
			q.pop();
		}
		if(q.empty()==0)
		{
			if(q.top().first<=0)
			{
				break;
			}
			ans+=q.top().first;
			pos=q.top().second;
			q.pop();
			vis[pre[pos]]=vis[suf[pos]]=1;
			a[pos]=a[pre[pos]]+a[suf[pos]]-a[pos];
			q.push(make_pair(a[pos],pos));
			pre[pos]=pre[pre[pos]];
			suf[pos]=suf[suf[pos]];
			pre[suf[pos]]=suf[pre[pos]]=pos;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(D\) CF335F Buy One, Get One Free

  • 考虑最大化白嫖的馅饼价格总和。

  • 通过样例 \(1\) 可知，不断拿最大白嫖次大的贪心策略是假的，考虑反悔贪心维护白嫖物品的集合 \(Q\) 。

  • 不妨把同样价格的馅饼缩在一起处理。并按照价格从大到小进行处理，此时白嫖只能依赖先前的状态。

  • 设当前价格为 \(c\) ，数量为 \(cnt\) ，之前一共得到了 \(sum\) 个馅饼且有 \(k=|Q|\) 个馅饼是通过白嫖得到的。

  • 此时可以白嫖 \(\min(sum-2k,cnt)\) 个馅饼，而剩下 \(cnt-\min(sum-2k,cnt)\) 个物品需要全价购买。

  • 尝试开始反悔，设当前取出的小根堆堆顶为 \(val\) 并弹出，由反悔贪心决策的替换性我们无法直接得知 \(c,val\) 的大小关系。

    • 设 \(val\) 的来源是 \(x\) ，每两个馅饼一起考虑。
    • 若 \(c>val\) ，我们可以用原来用来白嫖 \(val\) 的机会替换成白嫖 \(c\) ，同时购买 \(val\) ，又因为此时 \(val\) 的来源是一个比 \(c\) 大的馅饼，故一共可以获得两次白嫖机会，将 \(2\) 个 \(c\) 加入 \(Q\) 。
    • 若 \(c \le val\) ，存在两种决策：购买 \(x,val\) ，白嫖 \(2\) 个 \(c\) ，代价为 \(x+val\) ；购买 \(x\) 和 \(2\) 个 \(c\) ，仍白嫖 \(val\) ，代价为 \(x+2c\) 。这两个决策是互斥的，故将 \(2c-val>0,val\) 加入 \(Q\) 。

  • 为避免自己白嫖自己的情况，中间需要用数组转存一下加入集合 \(Q\) 的价格。

    点击查看代码 
    ll a[500010],b[500010],cnt[500010];
vector<ll>tmp;
priority_queue<ll,vector<ll>,greater<ll> >q;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	ll n,ans=0,sum=0,tot,val,i,j;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i];
		ans+=a[i];
	}
	sort(b+1,b+1+n);
	b[0]=unique(b+1,b+1+n)-(b+1);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cnt[lower_bound(b+1,b+1+b[0],a[i])-b]++;
	}
	for(i=b[0];i>=1;i--)
	{
		tot=min(sum-2*(ll)q.size(),cnt[i]);
		for(j=1;j<=tot;j++)
		{
			tmp.push_back(b[i]);
		}
		tot=cnt[i]-tot;
		for(j=1;j<=tot&&q.empty()==0;j+=2)
		{
			val=q.top();
			q.pop();
			if(b[i]>val)
			{
				tmp.push_back(b[i]);
				if(j+1<=tot)
				{
					tmp.push_back(b[i]);
				}
			}
			else
			{	
				tmp.push_back(val);
				if(j+1<=tot&&2*b[i]-val>0)
				{
					tmp.push_back(2*b[i]-val);
				}
			}
		}
		while(tmp.empty()==0)
		{
			q.push(tmp.back());
			tmp.pop_back();
		}
		sum+=cnt[i];
	}	
	while(q.empty()==0)
	{
		ans-=q.top();
		q.pop();
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(E\) [AGC010C] Cleaning

\(F\) luogu P9293 [ROI 2018] Addition without carry

\(G\) LibreOJ 560. 「LibreOJ Round #9」Menci 的序列

\(H\) luogu P4053 [JSOI2007] 建筑抢修

  • 按照 \(t_{2}\) 排序后在保证抢修建筑最多的情况下花费时间最少，使用优先队列存储先前最大的 \(t_{1}\) 支持撤销。

    点击查看代码 
    pair<ll,ll>a[150010];
priority_queue<ll>q;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	ll n,ans=0,sum=0,i;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i].second>>a[i].first;
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		if(sum+a[i].second<=a[i].first)
		{
			sum+=a[i].second;
			ans++;
			q.push(a[i].second);
		}
		else
		{
			if(q.empty()==0&&q.top()>=a[i].second)
			{
				sum+=a[i].second-q.top();
				q.pop();
				q.push(a[i].second);
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(I\) luogu P3620 [APIO/CTSC2007] 数据备份

  • 多倍经验： SP1553 BACKUP - Backup Files | CF958E2 Guard Duty (medium)

  • 每个办公楼显然只能和相邻的两个办公楼连接，且不能同时连接。

  • 然后和 luogu P1484 种树 一样做即可。

    点击查看代码 
    ll a[100010],b[100010],pre[100010],suf[100010],vis[100010];
priority_queue<pair<ll,ll>,vector<pair<ll,ll> >,greater<pair<ll,ll> > >q;
int main()
{
// #define Isaac
#ifdef Isaac
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	ll n,k,ans=0,pos,i;
	cin>>n>>k;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
		b[i]=a[i+1]-a[i];
		pre[i]=i-1;
		suf[i]=i+1;
		q.push(make_pair(b[i],i));
	}
	b[0]=b[n]=0x7f7f7f7f;
	for(i=1;i<=k;i++)
	{
		while(q.empty()==0&&vis[q.top().second]==1)
		{
			q.pop();
		}
		if(q.empty()==0)
		{
			ans+=q.top().first;
			pos=q.top().second;
			q.pop();
			vis[pre[pos]]=vis[suf[pos]]=1;
			b[pos]=b[pre[pos]]+b[suf[pos]]-b[pos];
			q.push(make_pair(b[pos],pos));
			pre[pos]=pre[pre[pos]];
			suf[pos]=suf[suf[pos]];
			suf[pre[pos]]=pre[suf[pos]]=pos;
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

\(J\) [AGC008B] Contiguous Repainting

posted @ 2025-01-05 15:39  hzoi_Shadow  阅读(267)  评论(1)    收藏  举报
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