2.12 それは命の证 ——ARC119~121

今天是 Blessing 的赞助周期的最后一篇古报。之后赞助歌曲未定。如果明天还是未定的话，那么可能会换成别的日志，或者继续 Blessing 的赞助。

ARC119

ARC119D Grid Repainting 3

考虑以行列为边，\((i,j)\) 表示从行点 \(i\) 连向列点 \(j\)。可以发现，对于一个连通块，我们一定得剩余一个行/列没法直接删（dfs 树的根）。于是我们能够删的行数+列数的总和是固定的，且能够删的行/列的分别最大值也是固定的。容易发现一定是存在某一个取最大值的时候是最优的。于是我们求出应该把行删满还是把列删满，然后据此构造即可（对于每个连通块选定一个合适的根）。

ARC119E Pancakes

即找到一组 \(x,y\)，使得 \(|a_{x+1}-a_{x}|+|a_{y-1}-a_y|-|a_{x+1}-a_y|-|a_{x}-a_{y-1}|\) 最大。考虑分类讨论。假设 \(x<y\)，\(a_x<a_y\)，那么只有在 \(a_{x+1}>a_{y-1}\) 时才会 \(>0\)。可以根据 \(a_{x+1}\) 与 \(a_y\) 的关系，以及 \(a_{x}\) 与 \(a_{y-1}\) 的关系分成四类。但若我们更加仔细分析，那么发现其实只有两类，且每一类都是类似一个求 \(\max(\min_{c_j\ge d_i,j<i-2} b_j,e_i)\) 状物。用一个 BIT 即可。

ARC119F AtCoder Express 3

首先这题一眼看上去就是 dp 套 dp。于是我们需要想一个比较好的能够套 dp 的状态。由于我们肯定不会从后面的 A 走到前面的 A，所以可以如下设计：考虑进行到 \(i\)，起点到 \([1,i]\) 最远的 A/B 的最短距离 \(f_a,f_b\)。这个是可以直接用 dp 套 dp 求解了。又因为若 \(f_a-f_b>2\)，那么这个 \(f_a\) 就没用了。所以实际上只有 \(O(n^2)\) 种状态。

ARC120

ARC120D Bracket Score 2

考虑应该可以取到上界，即最大的 \(n\) 个数取正，其余取负。这个也是容易的：直接维护一个栈，如果与栈顶正负号相等那就放进栈中，否则就取出栈顶，栈顶取左括号，该数取右括号。

ARC120E 1D Party

考虑每个数的决策一定是，先往一个方向走，碰到另一个之后再拐回去，然后一直走。然后二分，进行 DP：\(f_{i,0/1}\) 表示 \(i\) 一开始往左/右走，最远能走到右侧的多少。转移分四类情况讨论一下即可。

ARC120F Wine Thief

建议看本题讨论区。并且提醒自己，不要头铁推式子。

令 \(G(n,k)\) 表示总方案数，容易算出。考虑一种方法：钦定 \(i\) 选，意味着钦定 \(i-1,i+1\) 不选。此时把 \(i-1,i,i+1\) 删掉，就变成了 \(G(n-3,k-1)\)（\(i-2,i+2\) 不同时选）加上 \(F(i-2,n-4,k-2)\)（两者同时选）。我们把这些展开，发现是一个类似 \(\sum G(n-4i+1,k-2i+1)\) 的式子，但是有很烦的边界条件。研究清楚边界条件之后就做完了。

ARC121

ARC121D 1 or 2

观察发现，一定是存在一个区间都取单点，其余两两配对且一定是最小配最大，次小配次大这样的形式。并且一定是最外层 \(1\) 到 \(i\) 配 \(n\) 到 \(n-i+1\)，\([i+1,n-i]\) 中有一段单点区间，和一段区间 \([l,r]\) 满足 \(l,l+1,\dots\) 分别配 \(r,r-1\dots\)。于是预处理一下后两种的区间最值，然后枚举 \(i\) 即可。

ARC121E Directed Tree

考虑直接容斥。\(f(u,i)\) 表示 \(u\) 子树内钦定 \(i\) 个祖孙关系的情况。转移先直接背包，然后再 \(f(u,i)\times (sz_u-i)\to f(u,i+1)\)。

ARC121F Logical Operations on Tree

操作一定是先把 and 全部并起来，然后再并 or，也就是说需要存在一个由 and 边组成的连通块使得其里面全是 0。有了这个结论，我们就直接树形 DP 即可。