2.11 それは命の证 ——ARC116~118

冰艳天使临何处 白洲昨夜紫花开

ARC116

ARC116D I Wanna Win the Game

直接数位 DP。\(f(i,j)\) 表示考虑前 \(i\) 位，总和为 \(j\) 的方案数。转移枚举该位 \(1\) 的个数。使劲分析一下发现总复杂度 \(O(n^2)\)。

ARC116E Spread of Information

先二分，然后再进行贪心。\(f_u\) 表示 \(u\) 子树中选点个数，\(h _u\) 表示子树中关键点到 \(u\) 的最小距离，\(g _u\) 表示子树中未满足的点到 \(u\) 的最大距离。直接做即可。

ARC116F Deque Game

考虑一下只有一堆的方案。容易发现长度为奇数那么后手获利，长度为偶数那么先手获利。于是一定先去尝试抢偶数的先手，然后把偶数变为奇数的情况。于是一定是先轮流挑偶数的先手步（删最左还是最右），之后所有都是长度为奇数了。长度为偶数不会改变先后手。所以就做完了。

ARC117D Miracle Tree

可以发现等价于在树上沿着树边游走一下，最小化每个点的到达时间。这个问题是容易的。

ARC117E Zero-Sum Ranges 2

考虑在坐标系上画出折线，从上往下线头 DP。\(f(i,j,k,x)\) 表示考虑到 \(y\ge i\) 的部分，有 \(j\) 段线头，线总长为 \(2k\)，对 pair 数量的贡献为 \(x\)。直接 DP 可以枚举 \(a\) 表示在 \(i\) 处合并的线头数量，\(b\) 表示在 \(i\) 处新创建的线头段数，那么容易发现转移只与 \(b-a\) 有关。对每种 \(b-a\) 预处理转移系数和即可。然后考虑对答案的贡献。我们在 \(y=0\) 处枚举上下半区域的线头数量，线头长度和，以及在 \(0\) 处合并的线头数量。去除冗余变量的枚举，总复杂度 \(O(n^6)\)，但很快。

ARC117F Gateau

首先我们二分答案，然后不难发现一个关于前缀和的差分约束模型。把图画出来，发现可以抽象成这样：有两排点，其中每排点都有从右往左的链边，同时每列都有上下互通的边，同时第二行的最左侧点还指向第一行的最右侧点。如果没有最后那条边那么就没有负环，所以负环一定经过这条边。DP 求出从右上到左下的最短路即可。求右下到左上的最短路可以先 DP 一次，然后再用这条边松弛一次，再 DP 一次。容易发现这也是对的。

ARC118

ARC118D Hamiltonian Cycle

不会构造怎么办？？？我们令 \(n\) 为 \(a^i\) 的模 \(p\) 的循环节，\(m\) 为 \(\min j\) 使得 \(b^j\equiv a^i\)。那么我们画张 \(n\times m\) 的表格，其中一定要每个数出现一次，否则一定不行。那么对于一个网格图的哈密顿路是容易的。就好了。

ARC118E Avoid Permutation

考虑 DP：\(f(i,j,k,0/1,0/1)\) 表示考虑目前走到 \((i,j)\)，路径上有 \(k\) 个没有被决定的点被钦定，且该行/列是否有被钦定的点，容斥系数之和。于是令 \(c\) 表示未被决定的点的数量，那么答案就是 \(\sum f(n,m,k,p,q)\times (c-k)!\)。

ARC118F Growth Rate

首先令 \(g_i\) 表示 \(a_i\) 的上界，那么有转移 \(f_{i,j}=s_{i+1,g_{i+1}}-s_{i+1,a_ij-1}\)。容易发现 \(f\) 为 \(n-i+1\) 次多项式，所以考虑直接插值。

由于只有 \(\log M\) 个非 \(1\) 元素（\(1\) 元素直接做前缀和转移），所以总复杂度 \(O(n^2\log m)\)。