2.4 響け恋の歌 ——ARC古报 104~106
本来想一次放五场的，但是感觉实在是太多了，题解写起来很累，就改为三场了。以后没活了就写这个。ARC 多的是，所以近阶段就不会没活啦！
ARC104
D Multiset Mean
对于 \(x\)，我们只需要求出 \([0,x-1]\) 的元素组合的背包，以及 \([1,n-x]\) 的元素组合的背包，然后再做点乘即可。
做背包的时候，注意可以使用前缀和优化让其达到 \(O(n^4)\)。
E Random LIS
枚举最终形成的序列的排列，以及元素是否相等。我们可以一开始把值域拆成 \(O(n)\) 个段，然后再在内层算出 LIS 后，枚举每个元素处于哪个段。段内方案数是简单的组合数。
复杂度能过。
F Visibility Sequence
我们考虑在已经确定了 \(p\) 的情况下，可以贪心地尽可能使 \(a\) 小地填数。考虑 DP：\(f(l,r,x)\) 表示考虑 \([l,r]\)，贪心方案中 \(a[l,r]\) 最大值最小是 \(x\)，的方案数。
由于 \(x\) 是 \(O(n)\) 的，所以转移直接枚举最后一个 \(p=-1\) 的位置即可，然后前缀和优化。
ARC105
避雷：这场一整个垃圾场，慎做。
D Let's Play Nim
我们发现第二个游戏的先手有巨大优势。仔细想一下，如果 Nim 的先手是后手那么一定赢，否则除非后手可以与先手做对称玩法（即出现次数均为偶数），否则也是必赢。
E Keep Graph Disconnected
我们考虑最后一定是两个连通块然后看这两个连通块中的未连边的奇偶性。我们设这两个连通块的大小为 \(x,y\)。如果 \(n=x+y\) 是奇数，那么 \(xy\) 一定是奇数，于是 \(x,y\) 是多少都不会影响谁胜谁负。
然后我们看初始 \(x_0,y_0\)。如果 \(x_0,y_0\) 不同奇偶，那么一定存在其余奇块。于是先手可以选择是否改变奇偶性，然后后面后手每走一步，先手就可以根据情况来进行操作。否则我们就再看看一开始局面的 \(x_0y_0\) 的奇偶性判断胜负，因为胜者也总能根据情况进行维持操作。
F Lights Out on Connected Graph
容易发现图合法当且仅当其是连通二分图。我们枚举点集及其染色得到任意二分图及其染色的组合的数量。然后我们在对其做容斥，得到连通二分图及其染色的组合的数量。由于连通二分图数染色数是 \(2\)，所以直接除以二就行了。复杂度 \(O(3^n)\)。
ARC106
D Powers
\(\sum_{l,r}(a_l+a_r)^{k}=\sum_{i} \binom{k}{i}\sum_{l,r} a_l^ia_r^{k-i}\)。预处理一下 \(\sum a_i^j\) 即可。
E Medals
我们先进行一个二分，然后就发现是一个匹配问题。
注意到 \(n\le 18\)，于是直接进行一个 Hall 定理。
F Figures
考虑 Prufer 序列。于是答案就是
