期望与方差

一些分布的期望与方差

两点分布

\(EX=p,DX=p(1-p)\)

二项分布

\(EX=np,DX=np(1-p)\)

超几何分布

\(EX=\dfrac{nM}{N},DX=\dfrac{nM}{N}(1-\dfrac{M}{N})(1-\dfrac{n-1}{N-1})\)

几何分布

\(EX=\dfrac{1}{p},DX=\dfrac{1-p}{p^2}\)

关于证明需要用到的式子

• \(\dfrac{i}{n}\dbinom{n}{i}=\dbinom{n-1}{i-1}\)
• \(\sum_{i=0}^k \dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}\)
• 等差数列、等比数列求和
• 一些小小的构造

相对独立的随机变量 \(X,Y\)

期望

\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)

\(E(XY)=E(X)E(Y)\)

方差

\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)

\(D(XY)=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)\)