题解 CF1036G Sources and Sinks

提供本题一种切入点。

除了源汇点其它点是不重要的，把每个源点能到达的汇点预处理出来，变成一张二分图，设 $k$ 为源汇点个数，$k\le 20$。

这个数据范围猜测可能跟 hall 定理有关系，我猜它这个二分图有完美匹配时就是 YES，但是好像 $n=1$ 都不对。

还是往 hall 定理想。若存在某些非空源点集合 $S$，它们可达汇点集合 $T$，若 $|T|\ne k$ 且 $|S|\ge|T|$ 时，答案必定为 NO，因为只要 $S$ 中每个点都匹配 $T$，那对于 $t\in T$，其通过 $S$，无法到达 $T$ 外的汇点，当然 $|T|=k$ 时除外。

现在证明反之答案为 YES。记 $f(T)$ 为汇点集合 $T$ 匹配的源点集合 $S$ 可达的汇点集合，由上面的结论 $|f(T)|>|S|=|T|$，所以可达的源点和汇点集合只会不断变大，直到 $f(T)=k$，所有的源点和汇点都可达，符合限制。

发现这个结论和 hall 定理只有在能否取等上有不同，尝试理解这和二分图匹配的存在性问题的关系，感性理解下可以感知到是相等时源点集合不能向外拓展，所以必须多一个汇点来拓展源点集合。

时间复杂度 $O(n+m+2^k)$。