度量空间与连续映射

定义1.1.1 设\(X\)是一个集合，\(\rho: X\times X\to\mathbb{R}.\) 如果对于任何\(x, y, z\in X,\) 有正定性、对称性、三角不等式,则称\(\rho\)是集合\(X\)的一个度量.

如果\(\rho\)是集合\(X\)的一个度量，则称偶对\((X,\rho)\)是一个度量空间，此外，对于任意两点\(x, y\in X\), 实数\(\rho(x,y)\)称为从点\(x\)到点\(y\)的距离.

例1.1.1 实数空间 \(\mathbb{R}.\)

定义\(\rho(x,y)=|x-y|.\) 这个度量空间特别地称为实数空间或直线，度量\(\rho\)称为\(\mathbb{R}\)的通常度量.

例1.1.2 \(n\)维欧氏空间 \(\mathbb{R}^n.\)

定义: 对于任意 \(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n), y=(y_1,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n\), 令

\[\rho(x,y)=\sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i-y_i)^2}. \]

称为通常度量.

例1.1.3 Hilbert 空间\(\mathbb{H}\).

记\(\mathbb{H}\)为平方收敛的所有实数序列构成的集合, 定义

\[\rho(x,y)=\sqrt{\sum^{\infty}_{i=1}(x_i-y_i)^2}. \]

例1.1.4 离散的度量空间.

设\((X,\rho)\)是一个度量空间，称\((X,\rho)\)是离散的，如果对于每一个\(x\in X\), 存在一个实数\(\delta_x>0\) 使得 \(\rho(x,y)>\delta_x\) 对于任何\(y\in X, y\neq x\)成立.

定义1.1.2 设\((X,\rho)\)是一个度量空间, \(x\in X\). 对于任一给定的实数 \(\varepsilon>0\), 集合

\[\{y\in X|\rho(x,y)<\varepsilon\} \]

记作\(B(x,\varepsilon)\), 称为一个以\(x\)为中心, \(\varepsilon\)为半径的球形邻域.

定理1.1.1 度量空间\((X,\rho)\)的球形邻域具有以下基本性质:

(1) 每一点\(x\in X\)至少有一个球形邻域, 并且点\(x\)属于它的每一个球形邻域.
(2) 对于点\(x\in X\)的任意两个球形邻域，存在\(x\)的一个球形邻域同时包含于两者.
(3) 如果\(y\in X\)属于\(x\in X\)的某一个球形邻域，则\(y\)有一个球形邻域包含于\(x\)的那个球形邻域.

定义1.1.3 设\(A\)是度量空间\(X\)的一个子集, 如果\(A\)中每一点都有一个球形邻域包含于\(A\), 则称\(A\)是度量空间\(X\)中的一个开集.

定理1.1.2 度量空间\(X\)中的开集具有以下性质:

(1) 集合\(X\)和空集都是开集.
(2) 任意两个开集的交是开集.
(3) 任意一个开集族的并是一个开集.
为了方便，我们将球形邻域的概念推广。