解析函数的积分和Cauchy积分公式

解析函数的积分和Cauchy积分公式

定义2.3.1 设\(f\)是区域\(\Omega\)上的连续函数，\(g\)在\(\Omega\)上解析，若对任意的\(z\in\Omega\), 有\(g'(z)=f(z),\)则称\(g(z)\)为\(f(z)\)在\(\Omega\)中的原函数或者不定积分.

定理2.3.2 如果\(f(z)\)是区域\(\Omega\)上的连续函数，\(f(z)\)在\(\Omega\)中有原函数\(g(z), C:z=z(t)=x(t)+\)i\(y(t)~~~(\alpha\leq t\leq\beta)\)为分段光滑有向曲线, 以\(a=z(\alpha)\)为起点，\(b=z(\beta)\)为终点,全在区域\(\Omega\)中，则

\[\int_C f(z)dz=g(b)-g(a). \]

这个定理可以称为牛顿-莱布尼兹公式.

定理2.3.3 如果\(f(z)\)是区域\(\Omega\)上的连续函数，则\(f(z)\)在\(\Omega\)中有原函数的充分必要条件是对全在区域\(\Omega\)中的任意Jordan闭横竖折线\(C\)有

\[\int_C f(z)dz=0. \]

证明：由定理2.3.2，只需证明充分性. 固定\(a\in\Omega\), 设$$g(z)=\int_{L_{z}}f(\zeta)d\zeta,$$
其中\(L_z\)是\(\Omega\)中从\(a\)到\(z\)的横竖折线, 由Jordan闭横竖折线定理，\(g(z)\)不依赖于\(\Omega\)中从\(a\)到\(z\)的横竖折线的选取，从而\(g(z)\)在\(\Omega\)中有定义. 对任意的\(z_0=x_0+iy_0\in\Omega\), 存在\(z_0\)的邻域\(D(z_,R)\subset\Omega\). 我们证明\(g\)在\(z_0\)点复可微, 且\(g'(z_0)=f(z_0).\)当\(\vartriangle z=\vartriangle x+i\vartriangle y, 0<|\vartriangle z|<r\)时,

\[g(z_0+\vartriangle z)-g(z_0)=\int_{[z_0,z_0+\vartriangle x]}f(\zeta)d\zeta+\int_{[z_0+\vartriangle x,z_0+\vartriangle z]}f(\zeta)d\zeta, \]

于是$$g(z_0+\vartriangle z)-g(z_0)-f(z_0)\vartriangle z=\vartriangle x\varepsilon_1(\vartriangle z)+i\vartriangle y\varepsilon_2(\vartriangle z),$$
其中$$ \varepsilon_1(\vartriangle z)=\int^1_0(f(z_0+t\vartriangle x)-f(z_0))dt=o(1)~~~(\vartriangle z\to 0),$$

\[\varepsilon_2(\vartriangle z)=\int^1_0(f(z_0+t\vartriangle x+it\vartriangle y)-f(z_0))dt=o(1)~~~(\vartriangle z\to 0), \]

从而\(g\)在\(z_0\)点复可微, 且\(g'(z_0)=f(z_0).\) 由\(z_0\)的任意性可知, \(g\)在\(\Omega\)处处复可微,且\(g'(z)=f(z),\) 所以\(f(z)\)在\(\Omega\)中有原函数.

推论2.3.4 \(f(z)\)是区域\(\Omega\)上的连续函数，如果对全在区域\(\Omega\)中的任意Jordan闭横竖折线\(C\)，上式成立，则对全在区域\(\Omega\)中的任意闭分段光滑曲线，式也成立.

定理2.3.5 (Goursat) 设\(\Omega\)是一个单连通区域，\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析，则 \(f\)在\(\Omega\)中有原函数.

推论2.3.6 （单连通区域的Cauchy定理）设\(\Omega\)是单连通区域，\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析，则\(f\)在\(\Omega\)中有原函数且对全在区域\(\Omega\)中任意分段光滑闭曲线\(C\), \(\int_C f(z)dz=0.\)

定理2.3.7 设\(f(z)\)在单连通区域\(\Omega\)上解析，\(a\in\Omega\),则\(F(z)=\int^z_a f(z)dz\)在\(\Omega\)上解析，且\(F'(z)=f(z).\)

定理2.3.8 设\(f\)在\(z\)平面上的单连通区域\(\Omega\)内解析，若\(\Phi(z)\)为\(f(z)\)在\(\Omega\)内的任一原函数，则\(\int^b_a f(z)dz=\Phi(b)-\Phi(a).\)

定理2.3.9 （Cauchy高阶求导公式） \(\Omega\)是单连通区域，\(C\)是全含在\(\Omega\)中的闭Jordan分段光滑曲线，\(C\)所围成的区域\(W\),若\(f(z)\)在\(\Omega\)解析，则\(f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-z_0} dz, z_0\in W\). (Cauchy 公式）

且对于正整数\(m\), \(f\)的\(m\)阶导数\(f^{(m)}(z)\)在\(\Omega\)中存在解析，且有如下高阶Cauchy公式：

\[f^{(m)}(z_0)=\frac{m!}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)dz}{(z-z_0)^{m+1}},z_0\in W,m\in\mathbb{N},$$其中$f^{(1)}(z)=f'(z),f^{(m)}(z)=\frac{d}{dz}f^{(m-1)}(z),m\geq2,f^{(0)}(z)=f(z).$ #### 定理2.3.10 （解析函数的无穷可微性质） 设$f(z)$在单连通区域$\Omega$内解析，则$f(z)$在$\Omega$内具有各阶导数，且它们在$\Omega$内也解析。 #### 定理2.3.11 (Morera) 设$f(z)$在$\Omega$上连续，如果对任意长方形$\Box\subset\Omega, \int_{\partial\Box}f(z)dz=0$, 则$f(z)$在$\Omega$上解析。 证明：$\forall z_0\in\Omega,$存在$D(z_0,r)\subset\Omega$,证$f(z)$在$D(z_0,r)$上复可微。对$D(z_0,r)$中任意闭长方形，其边界是分段光滑曲线$C，\int_C f(z)dz=0.$ $n=5$时也成立. 设定理$\leq n$时成立， $\int_C f(z)dz=0.$ 由定理2.3.3， $f(z)$在$D(z_0,r)$中有原函数$g(z)$, 且$g'(z)=f(z). g(z)$在$D(z_0,r)$解析，所以由定理2.3.9知道$g'(z)=f(z)$在$D(z_0,r)$中复可微，由$z_0$的任意性推出，$f(z)$在$\Omega$上解析. #### 定理2.3.12 (Cauchy积分定理的推广) 设$C$是Jordan闭分段光滑曲线，$\Omega$为$C$的内部, $f(z)$在闭区域$\bar{\Omega}=\Omega\cup C$上解析，则$\int_C f(z)dz=0$ #### 定义2.3.13 n+1条Jordan分段光滑曲线: $C_0,C_1,\cdots,C_n$, 其中后面n条的每一条在其余各条的外部，又都在$C_0$的内部. 在$C_0$内部同时又在$C_1,\cdots,C_n$外部的点构成一个有界的多连通区域$\Omega$, 以$C_0,C_1,\cdots,C_n$为边界，称$\Omega$的边界是一条复围线，记为$\partial\Omega=C_0+C_1^{-}+\cdots+C_n^{-}$, 负号表示取负向，也就是观察者沿着$\partial\Omega$绕行时，$\Omega$的点总在左手边. #### 定理2.3.14 （多连通的Cauchy定理）归纳法证明. #### 定理2.3.16 （解析函数的均值定理） 设$f(z)$在圆盘$|z-z_0|<R$内解析，在$|z-z_0|\leq R$闭圆盘上连续，则$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int^{2\pi}_{0}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta.$ #### 定理2.3.17 (Cauchy不等式）设$f(z)$在区域$\Omega$内解析，$a$为$\Omega$中任一点，若$\overline{D(a,R)}\subset\Omega$, 则$|f^{(n)}(a)\leq\frac{n!M(R)}{R^n},~~~ n\in\mathbb{N}.$ #### 整函数：在整个$\mathbb{C}$平面上解析的函数，例如：多项式，指数函数，正余弦函数等. #### 定理2.3.18 （Liouville) 有界整函数必为常值函数. 证明：由题设，$\exists M>0$, 使得$|f(z)|\leq M,~~~\forall z\in\mathbb{C}$. $\forall a\in\mathbb{C},\forall R>1, |f'(a)|\leq M/R,$ 令$R\to\infty, |f'(a)|=0, f(z)=C.$ #### 定理2.3.19 \ (最大模原理) \ $f(z)$在有界区域$\Omega$内解析, 且连续到边界, 设$M=\max\{|f(z):\ z\in\bar{\Omega}\}$, 则在$\Omega$内有$|f(z)|<M$, 除非$f(z)=Me^{i\alpha},M,\alpha$是常数. 证明：如果存在$z_0\in\Omega$, 使得$|f(z_0)|=M$, 下证$f(z)$是常数. 令$D=\{z\in\Omega: \ |f(z)|=M\},$ 则$D\neq\emptyset$. 因为$f(z)\in C(\bar{\Omega}), \bar{D}\cap\Omega=D$.(根据连续性) 下证$D$是开集. $\forall z_0\in D\subset\Omega, \exists D(z_0，r_0)\subset\Omega,$ $$\forall r>0,r<r_0, M=|f'(z_0)|=|\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0}f(z_0+re^{i\theta})d\theta|\leq \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_{0}|f(z_0+re^{i\theta})|d\theta\leq M. \]

\(|f(z_0)|=|f(z_0+re^{i\theta})|\).