《数学分析》笔记：实数集和函数 3

§ 3 函 数 概 念

一 函数的定义

定义 1 给定两个实数集 \(D\) 和 \(M\)，若有对应法则 \(f\)，使对每个 \(x\in D\)，都有唯一的 \(y\in M\) 与它相对应，则称 \(f\) 是定义在数集 \(D\) 上的函数，记作

\[f:D\rightarrow M, \]

\[x\mapsto y. \]

数集 \(D\) 成为函数 \(f\) 的定义域，\(x\) 所对应的 \(y\) 称为 \(f\) 在点 \(x\) 的函数值，常记为 \(f(x)\).

二 函数的表示法

1. 解析法（公式法）

2. 列表法

3. 图像法

三 函数的四则运算

给定两个函数 \(f,x\in D_1\) 和 \(g,x\in D_2\). 记 \(D=D_1\cap D_2\)，并设 \(D\neq \varnothing\). 我们定义 \(f\) 和 \(g\) 在 \(D\) 上的和、差、积运算如下

\[F(x)=f(x)+g(x)\ ,x\in D \]

\[G(x)=f(x)-g(x)\ ,x\in D \]

\[H(x)=f(x)g(x)\ ,x\in D \]

若在 \(D\) 中剔除使 \(g(x)=0\) 的 \(x\) 值，即令

\[D^*=D_1\cap\ \{x\ |\ g(x)\neq0\ ,\ x\in D_2\}\neq\varnothing , \]

可在 \(D^*\) 上定义 \(f\) 与 \(g\) 的商如下：

\[L(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)},x\in D^*. \]

函数 \(f\) 与 \(g\) 的和、差、积、商常分别写作

\[f+g,f-g,fg,\dfrac{f}{g} \]

四 复合函数

设有两函数

\[y=f(u)\ ,u\in D, \]

\[u=g(x)\ ,x\in E. \]

记 \(E^*=\{\ x\ |\ g(x)\in D\}\ \cap E\). 若 \(E^*\neq\varnothing\)，则对每个 \(x\in E^*\)，可通过函数 \(g\) 对应 \(D\) 上唯一的一个值 \(u\)，而 \(u\) 又通过函数 \(f\) 对应唯一的一个值 \(y\). 这就确定了一个定义在 \(E^*\) 上的函数，它以 \(x\) 为自变量，\(y\) 为因变量，记作

\[y=f(g(x))\ ,x\in E^*\text{或}y=(f\circ g)(x)\ ,x\in E^*, \]

称为函数 \(f\) 和 \(g\) 的复合函数 . 并称 \(f\) 为外函数，\(g\) 为内函数，\(u\) 为中间变量 . 函数 \(f\) 和 \(g\) 也可以简单地写作 \(f\circ g\).

五 反函数

设函数

\[y=f(x)\ ,x\in D \]

满足：对于值域 \(f(D)\) 上的每一个 \(y\)，\(D\) 中有且仅有一个 \(x\) 使得

\[f(x)=y, \]

则按此法则得到一个定义在 \(f(D)\) 上的函数，称这个函数为 \(f\) 的反函数，记作

\[f^{-1}:f(D)\rightarrow D, \]

\[y\mapsto x \]

或

\[x=f^{-1}(y)\ ,y\in f(D). \]

六 初等函数

1. 常量函数 \(y=c\)（\(c\) 是常数）

2. 幂函数 \(y=x^\alpha\)（\(\alpha\) 为实数）

3. 指数函数 \(y=a^x\) (\(a>0,a\neq 1\))

4. 对数函数 \(y=\log_ax\) (\(a>0,a\neq 1\))

5. 三角函数 \(y=\sin x\ ,\ y=\cos x\ ,\ y=\tan x\ ,\ y=\cot x\)

6. 反三角函数 \(y=\arcsin x\ ,\ y=\arccos x\ ,\ y=\arctan x\ ,\ y=\mathrm{arccot}\ x\)

定义 2给定实数 \(a>0,a\neq 1\). 设 \(x\) 为无理数，我们规定

\[a^x=\left\{\begin{matrix} \sup \limits_{r<x}\{a^r \ | \ r\text{为有理数\}},\ \text{当}\ a>1 \ \text{时},\\ \inf\limits_{r<x}\{a^r \ | \ r\text{为有理数\}},\ \text{当}\ 0<a<1 \ \text{时}. \end{matrix}\right.\]

定义 3 由基本初等函数经过四则有限运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数 .