AT_abc243_g [ABC243G] Sqrt 题解

可设 \(f_i\) 为以 \(i\) 开头的方案数，由于最后由于操作数很多所以不用考虑还剩多少次操作，显然可得状态转移方程 \(f_i=\sum\limits_{j=1}^{\sqrt i}f_j\)，时间复杂度 \(O(T+ X\sqrt X)\)，空间复杂度 \(O(X)\)，无法接受。

考虑如何更优，可以发现在 \(T\) 次询问中，每次可以直接转移，因此仅需要预处理 \(1\sim \sqrt X\) 区间的 \(f\)，这样让空间降下来了，但是时间复杂度无法接受。

既然 \(f_i=\sum\limits_{j=1}^{\sqrt i}f_j\)，那么在每次询问中最好的情况是直接知道 \(\sum\limits_{j=1}^{\sqrt i}f_j\) 的值，考虑计算出 \(1\sim \sqrt[4]{X}\) 的值对所有 \(f_j\) 的影响，不难得出 \(k\) 的第一次造成影响应从 \(k^2\) 起至 \(\sqrt[4]{X}\)，则将出现次数乘上方案数即为最终答案，答案为 \(\sum\limits_{k=1}^{\sqrt[4]{X}}(f_k\times(\sqrt X - k^2+1))\)。

注意需要提前预处理 \(1\sim \sqrt[4]{X}\) 的 \(f\) 值。此题由于数据范围过大，直接用 sqrt() 肯定有误差，需要先强制转 long double 类型。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 2000005
#define mod 998244353
#define int long long
using namespace std;
int n,m,dp[N],f[N];
signed main(){
    int T;
    cin>>T;
    f[1]=1;
    for(int i=2;i<=500000;i++){
        for(int j=1;j<=sqrt((long double)i);j++) f[i]=(f[i]+f[j]);
    }
    while(T--){
        cin>>n;
        int res=0;
        int k=sqrt((long double)n);
        for(int i=1;i<=(int)sqrt((long double)k);i++){
            dp[i]=f[i]*(k-i*i+1);
            res=(res+dp[i]);
        }
        cout<<res<<endl;
    }
}