寒假 6 日游

总结了寒假 \(6\) 天考试的题解与反思，反思是为了避免更多的错误与挂分，题解是为了复习曾经的题目与各种 trick。

Day 1

T1 game

先写了暴力，然后打表找规律，发现答案是如：\(1,1,3,1,3,5,7....\) 的，所以有理由推测是从 \(1\) 开始的等差数列，项数依次为 \(2^i\)，预处理以下二分出答案在第几个等差数列然后直接计算即可。

• 考场 \(100\)，感觉是道找规律的好题，锻炼了我先写暴力然后打表找规律的能力。

T2 seq

yyb 讲了一个 trick，求某个东西计数结果的平方等价于将这个东西自己与自己匹配。

那么这道题就变成了，将 \(S\) 复制一份变成 \(S1\) 和 \(S2\)，求解 \(S1\) 和 \(S2\) 能够匹配上的子序列的对数。设 \(f_{i,j,k}\) 表示 \(S1\) 匹配到了 \(i\)，\(S2\) 匹配到了 \(j\)，已经匹配了 \(k\) 的子序列。

• 考场 \(35\)，时间没有完全利用好，很多人这题的分都比我高，我只写了 \(k=1\) 和特殊性质 A（还写挂了），还是需要合理分配时间，不要看到 dp 题目就畏惧。

T3 carrot

带修 dp，发现可以矩阵辅助转移，所以可以考虑区间矩阵乘法，然后这玩意可以用平衡树维护（因为编号会变化，所以用平衡树记录相对位置）。

• 考场 \(30\)，拿到了该拿到的分，唯一不足的点是读题花了很长时间，有一点畏惧的心理。

T4 path

这题考场做的就比较开放，直接写了暴力和所有的优化，惊奇发现过了大样例，然后就跟 \(50\) dp 同分了，但其实本来有 \(60\)，忽略了一个小细节就挂了。

轮廓线 dp，感觉很开阔思维，把状态设为轮廓线，如果需要转移就将轮廓线改变即可，轮廓线为限制答案的下限，从来没有接触过这种 dp 类型。

• 考场 \(50\)，感觉正解让人眼前一亮的感觉，十分的巧妙。

Day 2

T1 move

需要发现一个性质，沿着数轴从左往右看,任何一个点的相对位置排名是一定不会发生变化的。

那么我们只需要关心每个时刻的位置而不需要知道编号，我们有可以发现一个性质，两个点碰撞在不关心编号的情况下相当于穿过了对方，那么只要单次二分即可。

• 考场 \(0\)，是一个非常大的失误，脑抽了，中间一个变量忘记将 \(\text{double}\) 转 \(\text{int}\) 了，丢了 \(40\)，没有自己造小数据和对拍。

T2 group

考场上太急躁，看错题了，导致写了错误的 dp 并调了很久。

首先对于 \(a_i\) 排序，那么对于每个新进来的 \(a_i\),要么加入某个划分的集合，要么新建立一个集合。这两件事情继续划分,则加入到某个集合,并且作为集合的最大值；加入到某个集合，不作为集合的最大值；新建立一个集合，并作为集合的最大值；新建立一个集合，并不作为集合的最大值。

设 \(f_{i,j,k}\) 表示当前填到了第 \(i\) 个数,目前还有 \(j\) 个组没有填入最大值。转移的时候考虑 \(a_i \sim a_{i-1}\) 到几个集合中就好了。因为当前数不是这些集合的最大值，因此这些集合的最大值一定不会小于 \(a_i\) ，所以可以把这部分到最大值之前的差值先加进来，等到结束的时候再停止给这个集合累加就好了。

• 考场 \(0\)，因为来不及写暴力了，这是错误的做法，应该先将题目看清，手玩一下样例再去仔细思考，可以一边写暴力一边想。

T3 production

建正图与反图，直接跑 \(\text{dijkstra}\) 即可。

• 考场 \(100\)，还是该拿的分拿到了。

T4 coloration

设 \(f_{i,j}\) 表示在以 \(i\) 为根节点的子树内，已经将 \(j\) 个点染成黑色时的最大收益。

向上转移的时候，需要先将子树内的收益直接加起来，然后再加上当前边要被计算的次数，这个值可以通过子树内的染色情况得出，复杂度实际是 \(O(nm)\) 的，只要枚举子树时不枚举超过子树大小即可。

• 考场 \(30\)，暴力分拿稳了。

Day 3

T1 geronimo

因为将一个过程看成连边的话，可以发现每个点入度出度均为 \(1\)，所以必然成为一个环，所有位置的环的 \(\texttt{lcm}\) 则为整个序列的循环节。

• 考场 \(30\)，打的是暴力，正解已经想到了却没有想明白该怎么求循环节。

T2 allonsy

可以枚举往右走 \(i\) 步，那么往左走了 \((n-i)\) 步。此时由于往右走的概率为 \(q\)，左的概率为 \((1-q)\)，左右步数分好的情况下又有 \(n \choose i\) 种可能性，所以对于枚举的 \(i\)，概率为 \({n \choose i }\times q^i \times (1-q)^{n-i}\)，之后直接算期望即可。

• 考场 \(0\)，认为左右步数无论怎么排列都是一样的结果（即没乘组合数），惨挂 \(100\)。

T3 good

CF438D 加强版，又是一道打表找规律的题目。

首先考虑好数有什么性质，先暴力打表，发现大部分都是质数，猜测后将质数去除，发现还有 \(2\) 的整次幂与 \(6\)，那么其余操作可以线段数维护，好数可以预处理（因为数字 \(1\leq x\leq 10^6\)）。

根据 CF438D 的 trick 可以得出，线段树区间取模时记录最大值，如果当前区间最大值小于 \(\bmod\) 则不递归，可以证明其复杂度为 \(O(\log V)\) 的。

• 考场 \(70\)，忘记了这个 trick，直接暴力下传 \(\bmod\) 导致复杂度不正确。

T4 color

现在只懂了时间、空间复杂度错误但能过的解法。

map 暴力存出在 dfs 过程中的所有颜色点的数量，在上传时将父亲 map 全部加上儿子的 map。

• 考场 \(30\)，是最朴素的暴力。感觉 yyb 说的很对，既然别人能暴力高分或满分，你又为什么不能优化你的暴力进而拿高分呢。

Day 4

T1 travel

首先可以很容易的暴力 dp，发现可以写成矩阵的形式，进而观察数据范围发现可以矩阵快速幂优化，因为除了时间其余数据范围都很小。

• 考场 \(0\)，是最惋惜，如果这题随便打一个分层图或者暴力 dp 就会得 \(50\)，然后就 \(300\) 了。还是一定一定要对拍，自己手造数据！！！

T2 army

拆式子或者按照方差定义推测。

性质 \(1\)：新加一个数不会将方差变小。方差指的是数据的分散情况，所以新加一个数要么使平均数不变，要么改变平均数，造成数据波动（即方差变大）。

性质 \(2\)：一定取排序后相邻的一段为最优。因为方差指的是数据的分散情况，所以排序后越分散就会方差越大，既然方差要求最小，就需要将相邻数据波动将到最小，即排序后连续的一段。

那么此题做法就很简单了，首先人数根据性质 \(1\) 默认取 \(l\) 最优，再从小到大排序，用类似于滑动窗口一样的东西模拟（性质 \(2\)），记得方差改变的东西可以存下来，不需要每次滑动时都 \(O(n)\) 算。

• 考场 \(100\)，此题比较好，锻炼了推式子的能力也锻炼了猜结论的能力。

T3 ned

维护到 \(i-1\) 为止的后缀 \(\gcd\)，可以发现性质：无论如何，添加一个数，仅会将所有的后缀 \(\gcd\) 不变或减少，且至少减少两倍，所以容易推出后缀 \(\gcd\) 不同的数量至多 \(\log V\) 个。容易得出，先算一遍，保存每一段的位置，再次算到时利用快速幂跳过后缀 \(\gcd\) 相同的这一段，时间复杂度 \(O(n\log V)\)。

• 考场 \(100\)，挖掘出性质就十分容易做题了。

T4 snow

先可以求出树的 dfs 序，显然对于一颗子树就变成了序列上的一个区间，那么可以用线段树，维护一个区间表示的点的直径，对于两个区间，直径的合并就是从四个端点中任选两个连成的路径，选出其中长度最长的，即为合并后的直径。

• 考场 \(50\)，暴力分。

Day 5

T1 camera

对于每一个点，可以算出它穿过给定矩阵的时间区间，注意可能永远到达不了。对于这些时间区间，可以拍平到一个时间段，显然每个时间段的左端点是最优的，在右端点序列上二分有几个右端点小于当前的左端点，继而可以算出选这个左端点带来的贡献，最后贡献取最大即可。

• 考场 \(40\)，幸好听取了 yyb 的建议挂了暴力，否则直接挂成 \(0\) 了。我的代码的错误也是不可原谅的，时间段排序应该按左端点从小到大，这样才能保证枚举的连续性，结果当时脑抽写反了，写了暴力依然没有写对拍也没有自己造数据，是在是惋惜！

T2 bg

贪心，从左往右扫值域，在 \(l_i\) 处把管理员 \(i\) 插入堆中，在 \(r_i\) 处把管理员从堆中丢弃。对于一个毒瘤度为 \(a_i\) 的题目，在扫到 \(a_i\) 的值域的时候直接将其和剩下的所有管理员中，\(r_i\) 最小的那个匹配即可。

• 考场 \(10\) 分，暴力挂错了，这实在是垃圾问题。

T3 firelead

这么简单一道题目没看出来我属实脑瘫。

将所有的叶子节点为起点，同时跑 \(\text{dijkstra}\) 即可。

• 考场 \(50\) 分，写 \(60\) 暴力还挂了。

T4 hopetree

也是一道脑瘫题。

找到一个中间点，这个点到其余 \(2\) 个点的距离相同。那么以这个中间点为根节点，这三个点一定是不同的三棵子树中的深度相同的点，做一个 dp 即可。

• 考场 \(60\) 分，用的是 \(\text{bitset}\) 优化暴力。考场上这个行为十分危险，本来此题用 \(\text{bitset}\) 是为了节省空间，当时算的是 \(200 MB\)，结果发现我 #define int long long 应该还要有个 \(2\)，所以总共为 \(400 MB\)，差点全爆。所以还是要检查自己的代码，利用 linux 命令行检查一下自己的空间。

Day 6

T1 联合权值

直接树形 dp。

• 考场 \(0\)，死因：每一层需要清空数组。yyb 致命提问：你为什么不对拍呢？

T2 树网的核

直接枚举点，dfs 过程中判断路径长度是否合法，继而枚举不在路径上的点算贡献即可。

• 考场 \(70\)，死因：数据范围这么小为什么一定要优化暴力。

T3 子串

原题，一眼 \(f_{i,j,k}\) 表示 A 串枚举到第 \(i\) 位，B 串枚举到第 \(j\) 位，已经使用过 \(k\) 段的方案，转移显然。

• 考场 \(50\)，死因：vector 开大了。

T4 运输计划

一眼树上差分，二分最短时间即可。

• 考场 \(10\)，死因：数组开小了，挂了 \(50\)。

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反思

yyb 这几天还是非常用心的与我们分享了题目的解法，我也深感收获，不仅收获了题目的解法，也收获了各种策略与方法，同时这几次考试也暴露了我很多严重问题，需要反思并改正这些错误。

需要自查的点

• 题目

  不会做先要手玩，考试先通读题目，合理分配时间。

  先写暴力了吗，一定要写对拍，不行就自己手玩造几个数据。

  数据点尽量分治，没把握的千万得加上暴力。

  看清楚输出什么了吗？看清楚要求什么了吗？题目到底有什么性质？

  看清数据范围了吗？需不需要开 long long 什么的？

  题目部分分可以拿到吗？给的特殊性质手玩一下有什么很好求的方法呢？

• 时间复杂度

  分析清楚了吗？ 是否可以优化？
  询问较少是否可以离线？ 是否可以用 bitset、数据结构优化一些东西？

• 取模

  不宜过多（TLE）与过少（WA），需要注意模数，从题面复制。
  注意模数是否为质数？ 哈希时多取几个模数？

• 图论

  是否有重边？有特殊性质的图（如树、基环树）？

  \(\text{dijkstra}\): priority_queue 是否 pop 了？ 标记了 vis 吗？

  \(\text{spfa}\): 看清楚题目有负权边了吗？ \(O(nm)\) 是否可以过呢？

• 数学

  lcm 不能边算边取模。期望指的是所有结果乘出现这种结果的概率（是否出现的结果有多种可能性？）

  碰到很牛的式子拆一下，说不定有什么最优策略或前缀和、前缀积优化。

6. dp

   转移需要的东西扔进状态。

   是否可以滚掉？是否可以前缀和之类的？是否有最大值，可以用线段树维护？

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收获的一些做题方法以及 trick

• 不要太快的否定自己的思路，仔细分析时间复杂度再下定结论。
• 整体数据范围较小，一类数据范围过大，可以思考是否可以矩阵优化。
• 带修改 dp 不一定是 ddp，说不定又跟矩阵有关系。
• 区间取模需要维护最大值，否则时间复杂度错误。
• 求某个东西计数结果的平方等价于将这个东西自己与自己匹配。
• 正难则反/时间倒流

薄弱的地方：

• 不想写对拍。
• 写正解非常自信，几乎不检查，过了大样例就万岁，没有大样例就跳了。
• 不会 dp，不会各种图论题目。
• 死钢题，有时间观念但总是想着等一会儿就做出来了。
• 多用纸笔画一画，看到式子多推一推。
• 暴力要打，要狠狠的打！相信自己的暴力。

需要改变的点：

• 不要每一点思路就去看题解，还是需要锻炼思维的过程。实在不行看看 tag，点明一下思路，实在没有一点就看看题解的主要思路，不要对着代码在那里假装搞懂了做题。
• 交洛谷题目时不要任性，测个样例就直接交，现在题目不想对拍、检查的习惯就是这么养成的。耐心思考下写对拍，不要一言不合就下数据。
• 学习自己不会、薄弱的专题，比如 dp、数据结构、图论等。
• 多自己思考，不要自己错了就去找别人帮忙，养成了不会自己调试的习惯。
• 养成良好的代码习惯。像 yyb 所说，如果不养成良好的代码习惯，以后写代码长的题目将会几乎无法调试。

yyb 为我们付出了很多，以后有什么无法解决的问题会麻烦他的，感谢他的善言警醒了我，让我得到了反思与成长。