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http://qoj.ac/problem/15039

两棵树无法被区分，当且仅当两棵树「 一个点到根的路径上的所有点的子树大小构成的集合」构成的集合相同。

设 \(dp_{i,j}\) 表示 \(j\) 棵大小为 \(i\) 的树（不区分顺序）的方案数。那么

\[\begin{align} dp_{i,j}=\sum_x\sum_k dp_{i,j-k}\times \begin{cases} dp_{x,k\times 2} & \text{if } x\times 2=i \\ dp_{x,k}\times dp_{i-1-x,k} & \text{if } x\times 2\not=i \end{cases} \\ \end{align} \]

转移的时候得先枚举 \(x\)，再枚举 \(j\)，这是为了保证不算重。

https://www.luogu.com.cn/problem/P8959

考虑给出的如果是一棵内向树该怎么做。把操作离线下来，在每个点上维护一棵时间轴线段树，支持后缀加、前缀求区间 \(\max\)、合并两棵线段树。直接做就可以了，复杂度是 \(O(n\log n)\) 的。

其实直接在有向树上套用上面这个做法，复杂度还是 \(O(n\log n)\) 的。这是因为执行 \(x\rightarrow y,x\rightarrow z\) 两次合并肯定不劣于 \(x\rightarrow y,y\rightarrow z\) 两次合并，而不断把 \(x\rightarrow y,x\rightarrow z\) 变成 \(x\rightarrow y,y\rightarrow z\) 直到无法操作后，有向树就会变成内向树。

http://xsy.gdgzez.com.cn/JudgeOnline/problem.php?cid=2375&pid=2

考虑在每一对 \((2i-1,2i)\) 之间连上一条虚边，那么整个图会形成若干个链和环。dp 出 \(f_S\) 表示 \(S\) 这个集合形成一个链或环的所有方案的权值和，然后要对 \(f\) 做一个在线的子集卷积。先枚举最高位 \(k\)，然后做长度为 \(2^k\) 的子集卷积，这样做 \(n\) 次卷积的复杂度还是 \(O(2^nn^2)\) 的。

https://www.luogu.com.cn/problem/P10353

考虑如果两个数 \(i,j\) 在经过一次置换后变成了 \(i'\) 和 \(j'\)，那么 \(p_i<p_j\) 的概率和 \(p_{i'}<p_{j'}\) 的概率应该是相同的。所以把每一对这样的 \(((i,j),(i',j'))\) 缩在一个等价类里，如果一个等价类内有 \(x\) 个满足 \(i<j\)，\(y\) 个满足 \(i>j\)，那么它对答案的贡献就是 \(\frac{xy}{x+y}\)。这是因为每一对 \(i<j\) 都有 \(\frac{y}{x+y}\) 的概率被置换成 \(i>j\)。

复杂度的瓶颈在于缩等价类，这一步是 \(O(n^3)\) 的。考虑构造出更少的排列，使得这些排列的置换群和原置换群相等。用以下方式构造 \(k\) 个排列：对题目给出的每一个排列，都以 \(\frac{1}{2}\) 的概率选择，把所有选出的排列复合起来。\(k\) 取 \(50\) 就能基本保证正确了，虽然我不会证。

https://www.luogu.com.cn/problem/P10547

交换的最小代价即为 \(\sum_{i<p_i}(p_i-i)\)；排列合法等价于置换环数量为偶数。做连续段 \(dp\)，设 \(dp_{i,j,k,0/1}\) 表示前 \(i\) 个数形成了 \(j\) 条链，代价总和为 \(k\)，置换环数量为奇数/偶数的方案数。注意到这个 \(j\le\sqrt k\)，所以复杂度是 \(O(nm\sqrt m)\) 的。

https://www.luogu.com.cn/problem/P8991

考虑什么样的区间是一定不优的。如果 \([l,r]\) 可以被劈成两半，使得一半的区间和是正数，另一半的区间和是负数，那它就是没有用的。这等价于，在 \(s_{l-1},s_l,\dots,s_r\) 中，\(s_{l-1}\) 和 \(s_{r}\) 一个是最小值，一个是最大值。打个表发现这样的区间数量不多，然后就做完了。