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线段树可以用来维护序列问题。如果要维护的对象从序列变成了树，但是我还想用线段树维护，应该怎么办呢？

一种方法是强行化归——把树划分成若干条链，再用线段树去维护这些链——也就是树剖。

考虑更加聪明一点的方法。线段树可以换一种表述方式，它也是「合并区间」这一操作的重构树。树上的每个节点，都对应了一个在合并过程中产生的区间。特别地，叶子节点对应的是单点。

把这个从序列对应到树上，我们希望构建出一棵新树，它是「合并连通块」这一操作的重构树。并且它的深度最好不要太大，否则就不能保证复杂度了。

这个想法看起来很完美啊，我们来试一试用它解决问题。比如【模板】动态 DP。我们来考虑一下要在新树的节点上维护哪些信息。

……完蛋了，如果连通块有 \(k\) 个叶子，那就得记录 \(2^k\) 个 dp 的状态，分别表示这些节点选或不选的最大权独立集大小。

考虑线段树为什么能做链上的最大权独立集问题，这是因为「区间」的端点数量是 \(O(1)\) 的，所以也就只用记录 \(O(1)\) 个点的选择状态。但是「连通块」的端点数量不是 \(O(1)\) 的，就炸缸了。

但是其实我们不用记录连通块的所有叶子的选择状态。我们只用记录那些「与外界有连边」的叶子的选择状态。注意到我们是可以自由选择怎么去合并连通块的，如果能选择一种合并方式，使得这个过程中产生的任意一个连通块都只包含 \(O(1)\) 个「与外界有连边」的节点——也就是只有 \(O(1)\) 个端点，那就全对了。

其实这个 \(O(1)\) 可以恰好是 \(2\)。假设有两个连通块 \(A,B\)：

1. 如果 \(A\) 的端点是 \(x,y\)，\(B\) 的端点是 \(x,z\)，且 \(z\) 不是任意其他连通块的端点，那可以将 \(A,B\) 合并为 \(C\)，端点是 \(x,y\)，这一操作称为 Rake；
2. 如果 \(A\) 的端点是 \(x,y\)，\(B\) 的端点是 \(y,z\)，且 \(y\) 不是任意其他连通块的端点，那可以将 \(A,B\) 合并为 \(C\)，端点是 \(x,z\)，这一操作称为 Compress。

其实就是删一度点、缩二度点。

容易验证按照以上规则合并出来的连通块都只有不超过 \(2\) 个端点。

看起来好像只需要 Rake 操作就能完成整个合并过程啊，那为什么还要 Compress 操作？这是因为只用 Rake 操作无法保证重构树的深度。考虑怎么建出一棵深度有保证的重构树：

初始有 \(n-1\) 个连通块，每个连通块都包含 \(2\) 个点和 \(1\) 条边。先对树重链剖分，然后对于每条重链：

1. 对于链上的每个点 \(x\)，都先递归其所有轻子树，再把所有轻子树使用 Rake 操作合并到 \((x,son_x)\) 这一连通块上；
2. 使用 Compress 操作将这条重链合并成一个连通块。

这两步都需要类似分治的结构去合并。如果分治中点取 \(mid\)，那重构树的树高就是 \(O(\log^2n)\) 的；如果取的是连通块大小的带权中点，那树高就是 \(O(\log n)\) 的。

然后就没有问题了，这个东西就真的可以用来维护动态树上最大权独立集了。

这个东西也叫静态 Top Tree。

动态 Top Tree 我还在学习中。

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我没学动态 Top Tree，我去学广义串并联图了。

考虑怎么把「合并连通块」的过程从树拓展到一般图上。在 Rake 和 Compress 之后，我们再加入第三种操作：

• 如果 \(A\) 的端点是 \(x,y\)，\(B\) 的端点也是 \(x,y\)，那可以将 \(A,B\) 合并为 \(C\)，端点还是 \(x,y\)，这一操作称为 Twist。

但是不是所有图都能通过这三种操作合并为一个连通块的。能合并的图，就叫做广义串并联图。

容易发现，一个图是广义串并联图，等价于其不存在同胚于 \(K_4\) 的子图。

能不能对广义串并联图建出树高为 \(O(\log)\) 的重构树？其实是不能的。他的重构树树高理论上界是 \(O(n)\) 的。

这件事情听起来太让人难过了，因为这意味着我们没法用类似 Top Tree 的手段去快速维护图上的信息了。

但是他还是很能做单次询问的。