游戏

游戏

题解

蛮简单的一道题。

很容易发现，这道题可以dp。
设$d{p}_{i,j}$表示最大的数与第二大与第三大的数之间的差值为$i,j$时走到结局的期望步数。

容易得到方程式，
当$x,y\ge 2$时
$d{p}_{0,x}=\frac{d{p}_{2,x+1}+d{p}_{1,x-1}}{2}+1$
$d{p}_{1,x}=\frac{d{p}_{0,x-2}+d{p}_{1,x}}{2}+1$
$d{p}_{x,y}=\frac{d{p}_{x-1,y-2}+d{p}_{x-2,y-1}}{2}+1$
如果直接通过高斯消元去解得话是30pts ，当然，你得常数很小。

可以通过上面的方程式可以解得，
$d{p}_{1,x}=d{p}_{0,x-2}+2,d{p}_{0,x}=d{p}_{0,x-3}+4$
此时$x+y$是不断减小的，最后一定会减小到0，中间转移过程可以通过dfs记忆化来实现，时间复杂度 $O\left(P(n)\right)$。此时的$P(n)$为$n$拆成3个数的拆法。
如果用map来动态记录$dp$状态的下标的话是60pts,但如果直接开大点数组，暴力存的话可以达到70pts。

我们再观察一下上面的方程式，可以发现，对于上面的方程式，对于$d{p}_{x,y}$的部分，最后都一定会变为一些$d{p}_{1,x1}$与$d{p}_{0,x2}$的和。而它是通过减一与减二减下去的，我们可以通过一元二次方程去算它的解。
先枚举每个$x1$与$x2$，对于每个$d{p}_{1,x1}$与每个$d{p}_{0,x2}$算出它的概率，乘上从其出发的期望步数即可。
总时间复杂度$O\left(t(x+y+z)\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
typedef long long LL;
const LL jzm=998244353;
const int inv2=499122177;
const int qpg=23333;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
int t,x,y,z,fac[MAXN],inv[MAXN],f[MAXN],iv2[MAXN];
map<int,int>mp;
int qkpow(int a,int s){
	int t=1;
	while(s){
		if(s&1)t=1ll*a*t%jzm;
		a=1ll*a*a%jzm;s>>=1;
	}
	return t;
}
void init(){
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=f[1]=iv2[0]=1;iv2[1]=inv2;
	for(int i=2;i<1e6;i++){
		fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%jzm;
		f[i]=1ll*(jzm-jzm/i)*f[jzm%i]%jzm;
		inv[i]=1ll*f[i]*inv[i-1]%jzm;
		iv2[i]=1ll*iv2[i-1]*inv2%jzm;
	}
}
int C(int x,int y){
	if(x<0||y<0||x<y)return 0;
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%jzm*inv[x-y]%jzm;
}
int add(int x,int y){return x+y<jzm?x+y:x+y-jzm;}
int DP(int x,int y){
	int res=0;
	for(int i=2;i<=y;i+=3){
		int p=(2*x-2-y+i)/3,q=(2*y-2*i-x+1)/3;if(p<0||q<0)continue;
		res=add(res,1ll*C(p+q,p)*iv2[p+q]%jzm*((i-2)/3*4+2+p+q)%jzm);
	}
	for(int i=3;i<=y;i+=3){
		int p=(2*x-y+i)/3,q=(2*y-2*i-x)/3;if(p<0||q<0)continue;
		res=add(res,1ll*add(C(p+q,p),jzm-C(p+q-1,p))*iv2[p+q]%jzm*(i/3*4+p+q)%jzm);
	}
	return res;
}
signed main(){
	freopen("game.in","r",stdin);
	freopen("game.out","w",stdout);
	read(t);init(); 
	while(t--){
		read(x);read(y);read(z);if((x+y+z)%3){puts("-1");continue;}
		if(x>z)swap(x,z);if(y>z)swap(y,z);if(x>y)swap(x,y);
		printf("%d\n",add(DP(z-x,z-y),DP(z-y,z-x)));
	}
	return 0;
}
/*
f(0,x)=1/2(f(2,x+1)+f(1,x-1))+1
f(0,x)=1/2(1/2(f(1,x-1)+f(0,x))+1+f(1,x-1))+1
f(0,x)=f(0,x-3)+4
*/

谢谢！！！