[AH2017/HNOI2017]礼物

礼物

题解

多简单的一道FFT板题呀！

我们发现，增加的亮度$c$的值为正还是为负都是没有关系的，只是对不同手环操作的问题，所以下面不会考虑$c$的正负。

有${\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i+c{)}^2={\sum }_{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)+2c{\sum }_{i=1}^n(x_i-y_i)+c^{2}n-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$

很容易发现除了最后一个$-2{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$以外，其它的值都与$x$与$y$的顺序无关，可以直接求出来。
前面关于$c$的式子也可以直接找对称轴求出，注意精度误差，可以枚举找到的对称轴前后两个点的值，取最小的。
可最后一个${\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$的最大值求着就有些麻烦了。
我们可以先将$x$给倒过来，就成了${\sum }_{i=1}^n{a}_{n-i+1}{y}_i$，此时两者的和是一定的，可以转化成多项式，将$y$延长一倍，两个多项式相乘，第$n+1$到$2n$项中系数最大的就是上式的最大值。
注意转化成多项式后应该是从$x^0$开始的，不是$x^1$。

总时间复杂度$O\left(nlogn\right)$。

源码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 300005
#define reg register
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int,int> pii;
const double PI=acos(-1.0);
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x>0?x:-x;}
template<typename _T>
inline void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while('0'>s||'9'<s){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
int n,m,rev[MAXN],lim;LL ans,suma,sumb;
struct cp{
	double x,y;cp(double X=0,double Y=0){x=X;y=Y;}
	inline friend cp operator + (const cp &a,const cp &b){return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	inline friend cp operator - (const cp &a,const cp &b){return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	inline friend cp operator * (const cp &a,const cp &b){return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
}a[MAXN],b[MAXN];
inline void fft(cp *A,int typ){
	for(reg int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
	for(reg int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		const cp Wn(cos(PI/mid),typ*sin(PI/mid));
		for(reg int R=mid<<1,j=0;j<lim;j+=R){
			cp w(1,0);
			for(int k=0;k<mid;++k,w=w*Wn){
				cp x=A[j+k],y=w*A[j+mid+k];
				A[j+k]=x+y;A[j+mid+k]=x-y;
			}
		}
	}
}
signed main(){
	read(n);read(m);
	for(reg int i=0,x;i<n;++i)read(x),a[i].x=x,suma+=x,ans+=1ll*x*x;
	for(reg int i=0,x;i<n;++i)read(x),b[i].x=x,sumb+=x,ans+=1ll*x*x;
	LL x=(LL)((1.0*sumb-1.0*suma)/(2.0*n)+0.5),maxx=0,tmp=1ll*x*x*n+2ll*x*(suma-sumb);
	tmp=min(1ll*(x-1LL)*(x-1LL)*n+2ll*(x-1LL)*(suma-sumb),tmp);
	tmp=min(1ll*(x+1LL)*(x+1LL)*n+2ll*(x+1LL)*(suma-sumb),tmp);
	reverse(a,a+n);for(reg int i=0;i<n;++i)b[i+n]=b[i];
	int l=0;lim=1;while(lim<3*n)lim<<=1,++l;
	for(reg int i=1;i<=lim;++i)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);
	fft(a,1);fft(b,1);for(reg int i=0;i<=lim;++i)b[i]=a[i]*b[i];fft(b,-1);	
	for(reg int i=0;i<=lim;++i)maxx=max(maxx,(LL)(b[i].x/lim+0.5));
	printf("%lld\n",ans+tmp-2ll*maxx);
	return 0;
}

谢谢！！！