[CF1499G]Graph Coloring

Graph Coloring

题解

一个晚上又没了。。。

我们考虑什么情况下${\sum }_{v\in V}\left|r(v)-b(v)\right|$最小。
很明显，这个值不可能小于${\sum }_{v\in V}|de{g}_v\%2|$，因为度数为奇数的点$|r(v)-b(v)|$最少为$1$，它不可能让$r(v)=b(v)$。
我们考虑如何让这个值刚好达到$deg$为奇数的点的个数。
我们可以尝试在这个图上构造路径，在路径上，我们对边交替染色，这样路径上非端点的点不会产生贡献，而端点会产生$1$的贡献。
而必定存在一种染色方法使得所有$deg$为奇数的点为一条路径的端点，而偶数的点不为任何路径的端点。
因为如果对于偶数的点，它为端点的路径数一定是偶数，我们可以将经过它的端点们互相合并，最后它就没有路径出发了。而为奇数的点无论怎么消都会剩余一条路径，产生$1$的贡献。
这样的话就刚好可以使图的权值最小。

但题目会动态加边并询问，我们必须要动态维护路径及其$hash$值。
由于一个点最多作为一条路径的端点，我们没必要理会经过它的路径，只考虑它作端点的路径。当我们加入边$(u,v)$时，有$3$种情况：

• 点$u,v$都有路径出发，那么我们要加一条边，再将两条路径合并起来。
• 点$u$或点$v$有一个有路径出发，那我们相当于对一条路径进行增广。
• 点$u$与点$v$都不作端点，那我们相当于新加入一条路径。

而对于路径我们要维护其上的蓝色边$hash$和，红色边$hash$和，它的起终点与它的起终边。
由于合并路径时涉及到路径颜色的问题，相邻两条边需异色，如果合并的两条路径颜色相同我们可以直接将其合并，如果不同我们还要先将不同颜色的边交换后再合并。
考虑到合并的方便，我们可以先调整一下经过$u$的路径的方向与经过$v$的路径的方向。
但对于$type=2$的询问，我们可以考虑先对于每条边记录下来它旁边的两条边，这同样可以再合并与增广时维护，再从一条路径的头开始，$bfs/dfs$找出所有的红边。
为了减少输出，我们可以将路径上偶数的边赋为蓝边 $type=2$的询问不会超过$10$次呀，那没事了。

虽然每个操作$1$都是$O\left(1\right)$，但常数巨大无比。
当然，时间复杂度还是$O\left(n+m+q\right)$的。
记得这是交互题哟！！！

源码

贞难调

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int mo=998244353;
const int jzm=2333;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
typedef pair<int,int> pii;
const double PI=acos(-1.0);
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y){return x+y<mo?x+y:x+y-mo;}
int qkpow(int a,int s){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%mo;a=1ll*a*a%mo;s>>=1;}return t;}
int n1,n2,m,cnt,bl[MAXN],ans,pow2[MAXN],idx,Q,ch[MAXN][2],tim,vis[MAXN],dis[MAXN];
struct path{int s,t,rhs,bhs,siz,fir,til;}p[MAXN]; 
vector<int>Ans;queue<int>q;
void work(int u,int v){
	cnt++;pow2[cnt]=add(pow2[cnt-1],pow2[cnt-1]);
	if(bl[u]&&bl[v]&&bl[u]!=bl[v]){
		ans=add(ans,mo-add(p[bl[u]].rhs,p[bl[v]].rhs));
		if(p[bl[u]].s==u){swap(p[bl[u]].s,p[bl[u]].t);swap(p[bl[u]].fir,p[bl[u]].til);if(p[bl[u]].siz+1&1)swap(p[bl[u]].rhs,p[bl[u]].bhs);}
		if(p[bl[v]].t==v){swap(p[bl[v]].s,p[bl[v]].t);swap(p[bl[v]].fir,p[bl[v]].til);if(p[bl[v]].siz+1&1)swap(p[bl[v]].rhs,p[bl[v]].bhs);}
		if(p[bl[u]].siz&1)p[bl[u]].rhs=add(p[bl[u]].rhs,add(pow2[cnt],p[bl[v]].rhs)),p[bl[u]].bhs=add(p[bl[u]].bhs,p[bl[v]].bhs);
		else p[bl[u]].bhs=add(p[bl[u]].bhs,add(pow2[cnt],p[bl[v]].rhs)),p[bl[u]].rhs=add(p[bl[u]].rhs,p[bl[v]].bhs);
		ch[cnt][0]=p[bl[u]].til;ch[cnt][1]=p[bl[v]].fir;ch[p[bl[u]].til][ch[p[bl[u]].til][0]?1:0]=ch[p[bl[v]].fir][ch[p[bl[v]].fir][0]?1:0]=cnt;
		p[bl[u]].til=p[bl[v]].til;p[bl[u]].t=p[bl[v]].t,p[bl[u]].siz+=p[bl[v]].siz+1;p[bl[v]].siz=0;bl[p[bl[v]].t]=bl[u];
		ans=add(ans,p[bl[u]].rhs);if(v!=p[bl[u]].t)bl[v]=0;if(u!=p[bl[u]].s)bl[u]=0;
	}
	else if(bl[u]||bl[v]){
		if(bl[v])swap(u,v);ans=add(ans,mo-p[bl[u]].rhs);
		if(p[bl[u]].s==u){swap(p[bl[u]].s,p[bl[u]].t);swap(p[bl[u]].fir,p[bl[u]].til);if(p[bl[u]].siz+1&1)swap(p[bl[u]].rhs,p[bl[u]].bhs);}
		if(p[bl[u]].siz&1)p[bl[u]].rhs=add(p[bl[u]].rhs,pow2[cnt]);
		else p[bl[u]].bhs=add(p[bl[u]].bhs,pow2[cnt]);
		ch[p[bl[u]].til][ch[p[bl[u]].til][0]?1:0]=cnt;ch[cnt][0]=p[bl[u]].til;p[bl[u]].til=cnt;
		p[bl[u]].t=v;p[bl[u]].siz++;ans=add(ans,p[bl[u]].rhs);bl[v]=bl[u];if(u!=p[bl[u]].s)bl[u]=0;
	}
	else{
		bl[u]=bl[v]=++idx;p[bl[u]].siz=1;p[bl[u]].s=u;p[bl[u]].t=v;
		p[bl[u]].bhs=pow2[cnt];p[bl[u]].fir=p[bl[u]].til=cnt;
	}
	if(cnt>m)printf("%d\n",ans);
}
void sakura(){
	Ans.clear();while(!q.empty())q.pop();++tim;int anss=0; 
	for(int i=1;i<=idx;i++)if(p[i].siz>1)q.push(p[i].fir),dis[p[i].fir]=0,vis[p[i].fir]=tim;
	while(!q.empty()){
		int t=q.front();q.pop();if(dis[t]&1)Ans.push_back(t),anss=add(anss,pow2[t]);
		if(ch[t][0]&&vis[ch[t][0]]!=tim)q.push(ch[t][0]),vis[ch[t][0]]=tim,dis[ch[t][0]]=dis[t]+1;
		if(ch[t][1]&&vis[ch[t][1]]!=tim)q.push(ch[t][1]),vis[ch[t][1]]=tim,dis[ch[t][1]]=dis[t]+1;
	}
	printf("%d",(int)Ans.size());for(int i=0;i<(int)Ans.size();i++)printf(" %d",Ans[i]);puts("");
}
int main(){
	read(n1);read(n2);read(m);pow2[0]=1;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++)read(u),read(v),v+=n1,work(u,v);read(Q);
	for(int i=1;i<=Q;i++){int typ,u,v;read(typ);if(typ==1)read(u),read(v),v+=n1,work(u,v);else sakura();fflush(stdout);}
	return 0;
}

谢谢！！！