[HNOI2011]卡农

卡农

题解

我们可以发现，一个合法的序列应当满足下面$3$个条件：

• 没有空集的存在。
• 所有集合都不会重复出现。
• 每个音阶的出现次数为偶。

由于要保证每个音阶的出现次数为偶，所以当选择的前$m-1$个音阶确定后，我们会选择的第$m$个音阶也就确定了，此时选择的音阶就是选择前$m-1$个集合后出现次数为奇数的音阶的集合。
而我们要选择的前$m-1$个音阶肯定要首先满足前两个条件，总共有$A_{2^n-1}^{m-1}$个，我们定义满足条件的$m$个音阶的选择方法有$f_i$种。
我们接下来要使得这个音阶即不为空也未曾出现。

如果它是空集的话，我们去掉最后一个后整个序列仍然是满足条件的，所以我们可以从$A_{2^n-1}^{m-1}$中减去$f_{m-1}$。
同样，如果有重复出现的，将重复出现的两个数去掉仍然满足条件。
而重复出现的数有$m-1$个位置，$2^n-m+1$个位置，要减去$(m-1)(2^n-m+1)f_{m-2}$。
所以，我们可以知道
$$Ans=f_m=A_{2^n-1}^{m-1}-f_{m-1}-(m-1)(2^n-m+1)f_{m-2}$$

很容易发现，其中的$f$可以通过递推的形式求解。
时间复杂度$O\left(n\right)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int mo=1e8+7;
const int jzm=2333;
const int lim=1000000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,m,ans,f[MAXN],inv[MAXN],dp[MAXN],pow2[MAXN]; 
int lg(int x){int res=0;while(x)res++,x>>=1;return res-1;}
signed main(){
	read(n);read(m);
	inv[0]=inv[1]=f[1]=dp[0]=pow2[0]=1;pow2[1]=2;
	for(int i=2;i<=1e6;i++)
		f[i]=1ll*(mo-mo/i)*f[mo%i]%mo,
		inv[i]=1ll*inv[i-1]*f[i]%mo,
		pow2[i]=add(pow2[i-1],pow2[i-1],mo);
	if(lg(m)>=n){puts("0");return 0;}int tmp=pow2[n],sum=1;
	for(int i=2;i<=m;i++){
		tmp=add(tmp,mo-1,mo);sum=dp[i]=1ll*sum*tmp%mo;
		dp[i]=add(dp[i],mo-dp[i-1],mo);
		dp[i]=add(dp[i],mo-1ll*dp[i-2]*(i-1)%mo*add(pow2[n],mo-i+1,mo)%mo,mo);
	}
	printf("%d\n",1ll*dp[m]*inv[m]%mo);
	return 0;
}

谢谢！！！