[航海协会]稀疏阶乘问题

稀疏阶乘问题

题目概述

题解

我们发现$F(x)$是$m$倍数是可以看作$F(x)\%m=0$的，也就是说$\prod (x-k^2)$中包含了$m$的所有质因子。
对每个质因子单独考虑。
如果$m={\prod }_{i=1}^k{p}_i$，我们的$F(x)=0$就相当于$\forall i\in [1,k],\exists j^2<x,x\equiv j^2(\mathrm{mod}{p}_i)$。
一种简单的思路是我们记录下来$m{n}_{i,j}$表示取模$p_i$余$j$的最小完全平方数。
显然有$[F(x)\%m=0]={\bigwedge }_{i=1}^k[x>m{n}_{i,x\%p_i}]$。

但如果$m={\prod }_{i=1}^k{p}_i^{k_i}$呢？这样许多$k^2\%p=a$的完全平方数贡献在一起可以抵一个$k^2\%p^k=a+pb$的效果。
诶，可以发现，我们只需要不超过$k_i$个这样的数就行了。
我们不妨暴力枚举$c{p}_i+r,c\in [1,k_i]$，把它们贡献到所有满足$j\%p_i=r^2\%p_i$的$m{n}_{i,j}$上，记录每一个至少要撑到哪一个$c{p}_i+r$，也就是找到最小的$lim$使得${\prod }_{l=0}^{lim}(j-l{p}_i-r)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_i^{k_i})$，反正有$lim<k_i⩽\log m$，可以直接暴力找。

弄完这些后我们可以发现，对于任意的$x$，只有当$x>{\max }_{i=1}^{k}m{n}_{i,x\%m}$
时$F(x)$才为$0$，我们求一下这个最大值构成的区间与$[l,r]$之间的交集中有多少个$\%m=x$的数即可。

时间复杂度$O\left(m\log m\right)$差不多吧。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned int uint;
#define MAXN 1000005
#define MAXM 15
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
template<typename _T>
void read(_T &x){
   _T f=1;x=0;char s=getchar();
   while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
   while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
   x*=f;
}
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int m,p[MAXM],a[MAXM],f[MAXM],cntp,num[MAXN];
LL mn[MAXM][MAXN],l,r,ans;
int main(){
    //freopen("sfac.in","r",stdin);
    //freopen("sfac.out","w",stdout);
    read(l);read(r);read(m);l--;
    for(int i=2,t=m;i<=t;i++)if(t%i==0){
        ++cntp;p[cntp]=i;f[cntp]=1;
        while(t%i==0)t/=i,f[cntp]*=i,a[cntp]++;
    }
    for(int i=1;i<=cntp;i++){
        for(int j=0;j<m;j++)num[j]=1,mn[i][j]=-1;
        for(int j=0;j<a[i]*p[i];j++){
            LL s=1ll*j*j;if(s>=r)break;
            for(int k=s%p[i];k<m;k+=p[i])if(num[k]){
                num[k]=1ll*(k-s%f[i]+f[i])*num[k]%f[i];
                if(!num[k])mn[i][k]=s;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        LL maxx=0;bool flag=0;
        for(int j=1;j<=cntp;j++)
            if(mn[j][i]<0){flag=1;break;}
            else maxx=max(mn[j][i],maxx);
        if(!flag){
            if(maxx<=r)ans+=(r+(m-i)%m)/m-(maxx+(m-i)%m)/m;
            if(maxx<=l)ans-=(l+(m-i)%m)/m-(maxx+(m-i)%m)/m;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

谢谢！！！