2026年NOICA联盟-NOIP模拟赛（十一）

改题

A. 梦境（dream）

做法

均摊+单点修改区间求极大连续段长度的平方和。

B. 黄金矿工（game）

做法

这种两行多列的一看就很可以 dp。

将有零有一的列只选一的答案记为正负一分别跑一边 dp，答案记为正一的统计答案的时候减去 \(2m\) 就行了。又卡在最后一步了。

C. 惊喜（tree）

题目描述

给出一棵树，每个点有点权 \(a_u\)，保证序列 \(a\) 是 \(1\sim n\) 的一个排列，求随机选两个点 \(u,v\)，以下值的期望： \(\varphi(a_u\cdot a_v)\cdot dis(u,v)\)。

做法

首先

\[\varphi(i\cdot j)=\dfrac{\varphi(i)\cdot\varphi(j)\cdot\operatorname{gcd}(i,j)}{\varphi(\operatorname{gcd}(i,j))} \]

那么要求的答案就是：

\[\dfrac{1}{n(n-1)}\sum_{d=1}^n \dfrac{d}{\varphi(d)}\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n[u\not=v\wedge\operatorname{gcd}(a_u,a_v)=d]\varphi(a_u)\varphi(a_v)dis(u,v) \]

设

\[f(d)=\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n[u\not=v\wedge\operatorname{gcd}(a_u,a_v)=d]\varphi(a_u)\varphi(a_v)dis(u,v) \]

恰好不太好求，考虑莫比乌斯反演（其实直接容斥也可以）。

设

\[F(x)=(f*\mathbf{1})(x)=\sum_{d|x}f(d)=\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n[u\not=v\wedge d|\operatorname{gcd}(a_u,a_v)]\varphi(a_u)\varphi(a_v)dis(u,v) \]

那么

\[f(x)=(F*\mu)(x)=\sum_{d|x}F(d)\mu(\frac{x}{d}) \]

\(F(x)\) 是好求的。考虑枚举 \(\operatorname{gcd}\) 为 \(d\)，把 \(d|a_u\) 的点作为关键点建立一棵虚树，这样虚树上任意两点点权的 \(\operatorname{gcd}\) 都是 \(d\) 的倍数。遍历一遍即可。

赛后总结

T1 题面有歧义，注意到了，但是线段树 pushtag 忘记乘以 len 了，多调了 1h。九点去看了 T2，但是脑子里还是在想 T1 哪里错了。

9:30 打了个暴力验证 T1 大样例没有出锅，然后才开始调试，通过的时候已经 10:20 了。

已经有点着急了，开始想 T2，并不太会，但是肯定是 dp。观察了一下两个人的策略，写了两个和正解一样 dp，但是没有想到在最后减去 \(2m\)，而是拼装了一个没有正确性的双指针。什么时候能够突破呢？🤔🤔🤔

11:00 打完了 T2，过了小样例，大样例只有一个数比答案小了一。😊，又想了一会，感觉双指针很假，但是又怀疑 dp 是不是写的是假的，错失了想到正解的机会。

11:30 开始看 T3，想了很多，但是都卡在 \(\varphi(i\cdot j)\) 难以处理。想到了转化成 \(\varphi(i)\varphi(j)\) 除以每种公共质因数的贡献，但是数论的题做得少了，没有转化到 \(\operatorname{gcd}\) 的直觉。

由于 T1 难评的题面 🧐，老师延长了半个小时，但是还是没能做出。

赛后知道了这个转化，但是后面的部分仍然有卡点，磕磕绊绊了比较久才做出。忘记了莫比乌斯反演。。。

总结：要提升简单题（T1、T2）切题速度，相信自己能做出中档题（T2、T3），T4 也要抽出一些时间打暴力。要及时复习知识点，保证熟练掌握。

trick 总结

• 均摊：观察性质，寻找操作总量上限是否较小。

• 数论要联想 \(\operatorname{gcd}\)

\[\varphi(i\cdot j)=\dfrac{\varphi(i)\cdot\varphi(j)\cdot\operatorname{gcd}(i,j)}{\varphi(\operatorname{gcd}(i,j))} \]

\[\sum_{d=1}^n\frac{n}{d}=n\ln n \]

• 点的总和是 \(\mathcal O(n),\mathcal O(n\log n)\) 等，并且有多组本质相同的询问（不一定是题面的询问），并且在树上的操作，可以建虚树。