AtCoder Beginner Contest 416 - E - Development 题解

题意简析

给你一个 \(N\) 个节点 \(M\) 条边的无向图，边有边权。

有 \(K\) 个机场，其中任意两个相连都有一条边权为 \(T\) 的边。

\(Q\) 次操作：

1. 加一条边。
2. 将某个点变为机场。
3. 询问所有节点对的路径的最短路径和。

思路解析

题目要我们维护一个动态图，最特殊的是有两种边：普通的边和机场。

显然机场更为特殊，如何处理呢？

要我们输出答案的是操作 3。

对于每个操作 3，计算所有城市对 \((i,j)\) 的最小路径时，考虑两种可能：

• 只通过公路，维护为 \(dis[i][j]\)。

• 通过机场：从 \(i\) 到最近机场，机场间转移，再到 \(j\)，维护为 \(air\_dis[i] + T + air\_dis[j]\)，其中 \(air\_dis\) 表示各点经由普通公路到机场的最短距离。

就要维护两个数组，\(dis\) 和 \(air\_dis\)。

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再看剩下的两个操作。

对于每个操作 1：

• 更新 \(dis\)：用新边松弛所有城市对的最短路径。

• 重新计算每个城市的 \(air\_dis\)。

对于每个操作 2：

• 将城市加入机场集合。

• 更新该城市的机场距离为 \(0\)，更新其他城市的机场距离。

时间复杂度

初始化：Floyd，\(O(N^3)\)。

每次操作：

1. \(O(N^2)\) 用于更新 \(dis\)，重新计算 \(air\_dis\)。

2. \(O(N)\) 更新 \(air\_dis\)。

3. \(O(N^2)\) 计算所有城市对的最短路径和。

总复杂度 \(O(N^3 + QN^2)\)，由于 \(N \le 500\) 且 \(Q \le 1000\)，加上 Atcoder 的神机，可以通过此题。

后记

1. 同一对城市之间可以建多条道路，同一城市也可以建多个机场。
2. 十年 OI 一场空，不开 long long 见祖宗。
3. 还是挺暴力的。