AtCoder Beginner Contest 416 - F - Paint Tree 2 题解

题意简析

在给定的树中选择最多 \(K\) 条顶点不相交的路径，使得这些路径覆盖的顶点权值之和最大化。

思路解析

考虑用树上 DP 求解。

状态设计

对于每个节点，定义三种状态：

1. 节点未被任何路径覆盖。

2. 节点是一条路径的端点，且该路径可以延伸到父节点。

3. 节点是一条路径的一部分（中间点或端点），且该路径在子树中已完成（不会延伸到父节点）。

初始化

每个节点初始状态为未被覆盖。

状态转移

对于每个节点的子节点，考虑不连接或连接路径：

• 不连接：子节点的状态独立，直接合并到当前节点的状态。

• 连接：若子节点有开放路径，则与当前节点的状态 1 或 2 连接，形成新路径。

在合并所有子节点后，考虑当前节点自身形成新路径或转换状态。

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答案就是根节点的所有状态中，路径数不超过 \(K\) 的最大权值和。

时间复杂度为 \(O(NK^2)\)，由于 \(N \le 2 \times 10^5\)，\(K \le 5\)，可以通过此题。