P4565 [CTSC2018] 暴力写挂 题解

题意简析

给出两棵树，每棵树有 \(n\) 个节点，求点对 \((x, y)\)，使得下式最大化：

\[ \mathrm{deep}_x + \mathrm{deep}_y - \mathrm{deep}_{\mathrm{LCA}(x, y)} - \mathrm{deep'}_{\mathrm{LCA'}(x, y)} \]

\(n \le 366666\)，边权可能为负。

思路解析

点分治/边分治 做法

以点分治为例，在有根的情况下分治结构如上。设 \(root\) 为根节点，\(x\) 是当前的重心。

显然的，非 \(root\) 所在的其余子树 \(son_1,son_2,son_{\cdots}\) ，地位相等，正常合并。

对于 \(root\) 所在的部分，还需要分类讨论成 \(fa_1, fa_2,fa_{\cdots},root\) 这几种情况。

对于每个部分分别暴力统计，显然是会超时的。依据经验，做有根点分治/边分治题目时，要利用题目中的特殊性质。

• 利用 LCA 与另一个点无关的性质，将影响范围缩小到系数。
• 利用题目的特殊性质，将 \(root\) 所在的部分进行动态单点查询。
• 有根的关键点不在 LCA（与本题无关）

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为简化思考过程，以使用边分治为例。

对于跨越了中心边的点对 \((x, y)\)，假设 \(y\) 处于根所在的连通块，且处在局部根为 \(r\) 的部分。则题中所要求的量转化为：

\[\mathrm{deep}_r + \mathrm{deep}_y - \mathrm{deep}_{\mathrm{LCA}(r, y)} - \mathrm{deep}_{\mathrm{LCA}(x', y)} \]

其中 \(x'\) 与 \(y\) 无关，于是可以把这部分贡献直接计算到 \(y\) 上。

现在所求的量为带点权的第二棵树上的 LCA 深度的最小值。仍然建立虚树进行树形 DP。时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log^2 n)\) 或 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。

但是如果我们不会写虚树呢？

树上启发式合并（dsu on tree）做法

我们可以有两种写法：

1. 完全启发性合并，优点是十分短小精悍。（其实是我点分治调了两年半）
2. 先树链剖分选出重儿子，再暴力枚举轻儿子进行合并，优点是不会拆除父亲所在的部分。

对第一棵树进行重链剖分，利用 DSU on Tree 处理每个节点。对每个节点 \(x\)，考虑以 \(x\) 为 LCA 的点对 \((u, v)\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 属于 \(x\) 的不同子树。

在第二棵树上进行树链剖分，对每条重链维护树状数组以支持动态更新和查询。对于每个点 \(v\)，维护 \(a[v] = \text{depth}_T(v)\)（第一棵树中的深度）。动态添加/删除点时，更新重链和轻儿子子树的信息。

代码实现

\[ \log(366666) \approx 13 \]

点分治十分通用，边分治思路简单，对它们做树形 DP，可以在 \(\mathcal{O}(n \log^2 n)\) 和 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 时间内解决。

DSU on Tree 的思路更加清新，时间复杂度 \(\mathcal{O}(n \log^3 n)\)。但是，我们可以考虑使用数据结构优化，使得时间复杂度降低到 \(\mathcal{O}(n \log^2 n)\)，但常数大。或者也可以用小常数的树状数组进行优化，详见这篇题解。

由于 \(n \le 366666\)，记得使用较快的输入方式。

后记

暴力写挂的这个标题很具有喜感啊。