从 B2147 求 f(x,n) 出发

求 f(x,n)

题目描述

已知

\[f(x,n)=\sqrt{n+\sqrt{(n-1)+\sqrt{(n-2)+\sqrt{...+2+\sqrt{1+x}}}}} \]

计算 \(f\) 的值。

输入格式

输入 \(x\) 和 \(n\)。

输出格式

函数值，保留两位小数。

样例 #1

样例输入 #1

4.2 10

样例输出 #1

3.68

很多人会用递归或递推的方法通过此题。

但实际上我们可以通过数学分析来找到一个 \(O(1)\) 的解决方案。观察函数 \(f(x, n)\) ，我们可以看到它是一个嵌套的平方根表达式，但是随着 \(n\) 的增加，每一层的平方根实际上对最终结果的影响越来越小。这是因为每一层的平方根都是以 \(n\) 为基数递减的。

我们可以通过数学归纳法来分析这个问题。首先，我们考虑最简单的情况，即 \(n=1\) ：

$ f(x, 1) = \sqrt{1 + x} $

接下来，考虑 \(n=2\) 的情况：

$ f(x, 2) = \sqrt{2 + \sqrt{1 + x}} $

我们可以观察到，随着 \(n\) 的增加，每一层的平方根内的值都在增加，但是增加的幅度在减小。这是因为每一层的平方根都是基于前一层的结果，而前一层的结果本身已经包含了一个平方根。因此，我们可以推断，当 \(n\) 变得足够大时，函数 \(f(x, n)\) 将趋近于某个特定的值。

实际上，这个特定的值就是当 \(n\) 趋于无穷大时的极限值。我们可以通过数学方法来计算这个极限值。设 \(f(x, \infty) = L\) ，则我们有：

\(L = \sqrt{1 + L}\)

解这个方程，我们得到：

\[L^2 = 1 + L \]

\[L^2 - L - 1 = 0 \]

这是一个二次方程，解这个方程我们得到两个解：

$ L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $

由于平方根函数的值域是正数，我们选择正的解：

$ L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $

这个值是黄金分割比，大约等于 \(1.618\) 。因此，对于任意的 \(x\) 和足够大的 \(n\) ， \(f(x, n)\) 将趋近于 \(1.618\) 。这就是一个 \(O(1)\) 的解决方案，因为它不依赖于 \(n\) 的大小。

然而，这个解决方案只适用于 \(n\) 足够大的情况。对于具体的 \(n\) 值，我们可能需要使用迭代方法来获得更精确的结果，但这将不再是 \(O(1)\) 的解决方案。对于样例输入，我们可以使用迭代方法来计算更精确的结果。