2025春: 现代几何学导论笔记

现代几何学导论

微分几何

大二选修课程: 微分几何
主要涉及: 流形, 张量与微分形式, 流形上的积分, de Rham上同调, 李群李代数初步
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前言

本笔记初稿完成于2025年春季, 以韦康老师在春季开设的微分几何课程内容为主体. 其内容大多取自老师的课堂板书. 课程的教材选取为 陈省身, 陈维桓:《微分几何讲义》(第二版),(北京大学出版社)
考虑到该课程内容重要(对分析学, 代数学起到进一步的理解).笔者在以板书为主体下, 以自己的理解与所习惯的语言重新进行整理, 并对一些必要的地方进行了补充与修正, 对整体起到梳理作用. 考虑到该课程在大二, 大三开设, 课程难度与抽象程度均较大. 笔者尽量在该笔记中提供了对知识点的回忆与理解, 虽然这使得内容(字数, 页数)看上去较课本反而多了些许.
笔者在这里提醒: 韦康老师虽按照一次一节内容进行推进(本笔记也将按照这个顺序进行推进). 但应当注意, 老师并非严格基于课本, 即大体与课本内容相符, 但细节到具体的“引出”与“记号”并不保持完全一致(大体上的顺序是参考了Warner的GTM94, 然而记号并未沿用.) , 因此笔者是基于课堂内容而非基于课本(虽然笔者参考了老师的记号, 但仍可以在该笔记中找到许多笔者的记号习惯(笔者对于某些记号不能明确区分表示歉意, 例如表示运算顺序, 表示等价类, 表示Lie括号和表示需要当作一个整体的记号等, 则需要读者自行判断.). 这使得这本笔记与微分几何的教材别具一格, 有着自己的风味.
由于笔者学力不够, 该笔记的深度与广度(由于这是笔者第一遍学习时所写, 内容与逻辑可能有所欠缺(混乱), 尤其是第一章, 笔者在有时间的情况下会对之前的笔记进行补充与修订.) 均有所欠缺. 同时由于时间的仓促以及笔者精力有限, 笔记中不免出现些许笔误(包括但不限于标点符号的不规范, 用词的不规范, 错字漏字, 数学符号未严格按LaTeX 规范, 或是数学符号的笔误等等), 这里将认为读者已经拥有了自适应的修改模式.
此外, 由于该笔记的特殊性质, 笔者没法基于所有命题与定理于证明(甚至思路), 这是由于有些是显然的, 有些则已超出该课程的范围, 读者有兴趣者可以自行查阅相关书籍. 对于相对重要的(包括老师认为重要的, 应掌握的)内容, 大多数都给有了证明或理解.
本门课程的先修知识为数学分析, 高等代数学, 一般拓扑学, 及代数学(I)的相关理论. 本门课程将在假定上述先修知识点的情况下, 尽可能的做到自包含.

学习时可以参考用书如下

• Warner, Frank W: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. GTM94;
• Wells, Raymond O: Differential Analysis on Complex Manifolds. GTM65;
• Shigeyuki Morita: Geometry of differential forms. 201. American Mathematical Soc.,2001;
• Lee.Introduction to smooth manifolds. GTM218;
• 陈维桓:《微分流形初步》(第二版);
• 忻元龙:黎曼几何讲义;

一些想说的话

陈省身先生曾说过:
“流形是20世纪数学有代表性的基本观念, 数学至少几何学的研究对象就是流形.”

梅加强老师的著作 《流形与集合》的前言也有一句话:
以流形为研究对象的几何学常称为现代几何学.

可见从纯数学的角度来看, 流形重要性不必多说.

流形同为几何学和拓扑学的研究对象, 这一点已经成为大家的共识, 微分拓扑, 微分动力系统等等很多方向, 都是以流形为基础进行学科交叉的产物, 至于广义相对论等物理相关的方向, 重要性不必多言.

从引用数学与计算数学的角度来看, 流形可以看成是一种比线性结构或凸结构更宽泛的结构, 在面对很多非线性的PDE问题, 或者非凸的优化问题时,虽然失去了线性或凸结构, 可往往具有流形结构, 于是便可以借助流形相关的理论去眼界实际问题中参数的几何结构了. 经典信息几何理论将概率密度函数全体看做一个统计流形, 用 Fisher 信息矩阵定义统计流形上的 Riemann 度量, 在此基础上构建了 Riemann 流形. 因为概率分布全体是弯曲的流形, 所以可以研究各种概率分布的几何性质, 这个理论衍生出的对偶联络的概念, 也已经成了一个纯几何的研究对象.

笔者本意乃将其作为研习之笔记, 以便于日后回溯重温. 其内容大抵取材于课堂所授之精华以及书本蕴含之要义, 近乎是一番精心整理的结晶. 其间, 笔者还融入了个人的独到见解, 使之别具一格. 与此同时, 笔者亦满怀热忱地期望这份笔记, 能够为那些于几何领域萌生兴趣的读者点亮一盏求知的明灯, 助力他们在探索几何奥秘的道路上稳步前行.