【题解】P7247 教材运送

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考虑 \(\mathrm{E}(\max)\) 使用 min-max 容斥，枚举一个点集 \(S\ne \varnothing\)，求第一次到达 \(S\) 内部点的期望代价 \(\mathrm{E}(\min)\)。
显然 \(1\in S\) 的情况 \(\mathrm{E}(\min)=0\)，这里先不考虑。
设 \(D_u=\frac{1}{n}\sum_{v} \mathrm{dis}(u,v)\)。
设 \(T\) 表示 \(S\) 的补集。考虑走了 \(i\) 步，仍然在 \(T\) 中的概率，乘上再走一步的代价。
对于第 \(0\) 步，这个东西是 \(D_1\)。
对于第 \(i\ge 1\) 步，这个东西是 \(\sum_{i\ge 1}(\frac{|T|}{n})^i \frac{1}{|T|} \sum_{u\in |T|}D_u=\frac{1}{1-\frac{|T|}{n}}\times \frac{|T|}{n}\times \frac{1}{|T|} \times \sum_{u\in T} D_u=\frac{\sum_{u\in T} D_u}{|S|}\)。
这时候可以考虑 \(D_u\) 的贡献，计算每个 \(S\) 带来的权值和，容易发现每个 \(u>1\) 都是等价的，对于 \(1\) 单独计算一下即可。
\(O(n)\)。