斯特林数行列

第一类斯特林数：
环的 EGF：\(\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(i-1)!x^i}{i!}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{i}=-\ln(1-x)\)。
加上 \(y\) 元刻画环的数量，所以是 \(S_1=\exp(-\ln(1-x)y)=(\frac{1}{1-x})^y\)。

P5408 第一类斯特林数·行
\([x^n](\frac{1}{1-x})^y=\binom{n+y-1}{n}=y^{\overline n}\)。
可以倍增处理，复杂度 \(O(n\log n)\)。

P5409 第一类斯特林数·列
\([y^m]\exp(-\ln(1-x)y)=\frac{(-\ln(1-x))^m}{m!}\)。
直接多项式快速幂，\(O(n\log n)\)。

恒等式
由行得到 \(\sum_{i=0}^n S_1(n,i)y^i=y^{\overline n}\)。

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第二类斯特林数：
集合的 EGF：\(\sum_{i=1}^{\infty} \frac{x^i}{i!}=e^x-1\)。
加上 \(y\) 元刻画集合的数量，所以是 \(S_2=\exp(y(e^x-1))\)。

P5395 第二类斯特林数·行
从容斥的角度，\(\begin{Bmatrix} n \\ k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^{k} \frac{i^n(-1)^{k-i}}{i!(k-i)!}\)。
直接卷积。

P5396 第二类斯特林数·列
\([y^m]\exp(y(e^x-1))=\frac{(e^x-1)^m}{m!}\)。

恒等式
\(\sum_{i=0}^{n} S_2(n,i)y^{\underline i}=y^n\)。