ARC230

A - Meeting on Tree

考虑每条边的贡献，显然是点集更小的会走过这条边。

即 \(\sum_{i=0}^{siz_u}\sum_{j=0}^{n-siz_u} \binom{siz_u}{i}\binom{n-siz_u}{j}\min(i,j)\)。
写成 \(b\sum_{i=0}^a \sum_{j=0}^{i-1}\binom{a}{i}\binom{b-1}{j}=b\sum_{i=0}^a \sum_{j=0}^{i-1}\binom{a}{a-i}\binom{b-1}{j},a+b=n-1\)。
考虑其组合意义：在 \(a+b\) 个中选择不超过 \(a-1\) 个。
所以就是 \(\sum_{i=0}^{a-1} \binom{n-1}{i}\)。

D - Min Max Matrix

考虑这个等式的值是 \(v\)，那么存在一行的最大值是 \(v\)，存在一列的最小值是 \(v\)，并且行 \(\max\ge v\)，列 \(\min\le v\)。
可以容斥减去 \(\max<v,\min>v\) 的，再加上 \(\max<v\land \min>v\)。
都可以容斥计算，并且前两个只用 \(O(n)\) 枚举，第三个可以用二项式变成 \(O(n\log n)\) 计算。

显然这个答案是关于 \(V\) 的 \(nm\) 次多项式，考虑求 \(O(nm)\) 次点值，然后插出多项式，计算自然数幂即可得到答案。
注意到模数是 ntt 模数所以可以把 ntt 的点值求出来然后 idft。
复杂度瓶颈在于求点值 \(O(n^2m\log n)\)。