【题解】P4002 [清华集训 2017] 生成树计数

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\[\begin{aligned} \sum_{d} (n-2)!(\prod_{i=1}^n \frac{a_i^{d_i}{d_i}^{m}}{(d_i-1)!})(\sum_{i=1}^n {d_i}^m)&= (n-2)![x^{2n-2}]\sum_{p=1}^n \prod_{i=1}^n \sum_{j=0}^{\infty} \frac{{a_i}^jx^jj^{m+1+[i=p]m}}{j!} \\ F_k(x)&=\sum_{j=0}^{\infty} \frac{x^jj^{k}}{j!}= \left[\frac{y^{k}}{k!}\right] e^{xe^y}= e^x \left[\frac{y^{k}}{k!}\right] e^{x(e^y-1)}=e^xG_{k}(x)\\ \sum_{p=1}^n \prod_{i=1}^n \sum_{j=0}^{\infty} \frac{{a_i}^jx^jj^{m+1+[i=p]m}}{j!}&=\prod_{i=1}^n F_{m+1}(a_ix)\left(\sum_{i=1}^n \frac{F_{2m+1}(a_ix)}{F_{m+1}(a_ix)}\right) \\ &=e^{x\sum a_i}\prod_{i=1}^n G_{m+1}(a_ix)\left(\sum_{i=1}^n \frac{G_{2m+1}(a_ix)}{G_{m+1}(a_ix)}\right) \\ \end{aligned} \]

其中：\(G_k(x)\) 是一个 \(\deg \le k\) 的多项式。
对于求积部分，可以分治 ntt，\(O(nm\log^2 n)\)。
对于求和部分，并不是一个短多项式呜呜呜。