【题解】P14560 CF1152D 加强版

考虑在 trie 上从下往上 dp，若某个节点两个儿子中有至少一个儿子没有匹配，那么该节点就是可以匹配的。
而 trie 子树形态只与当前节点的长度和前缀和相关，那么记录这两个进行 dp。
进一步发现只有奇数深度的节点一定会产生与儿子的匹配，而偶数深度节点则不会。

那么答案也就是 \(\sum_{i=1,i\bmod 2=1}^{2n-1} \sum_{j=1,j\bmod 2=1}^{2n-i} \binom{i}{\frac{i+j}{2}}-\binom{i}{\frac{i+j+2}{2}}=\sum_{i=1,i\bmod 2=1}^{2n-1} \binom{i}{\frac{i+1}{2}}-\binom{i}{n+1}=\sum_{i=0}^{n-1} \binom{2i+1}{i}-\binom{2i+1}{n+1}\)。

第一项可以通过前缀和求出。
对于第二项：\(\binom{2i+1}{n+1}=\binom{2i+2}{n+2}-\binom{2i+1}{n+2}\)，那么维护奇数项之和与偶数项之和即可完成转移。