【A】计算几何 & DP

向量运算

• 点积 \((x_1,x_2,x_3,\dots)\cdot(y_1,y_2,y_3,\dots)=\sum_i x_iy_i\)。
• 叉积 \((x_1,y_1)\times (x_2,y_2)=x_1y_2-x_2y_1\)。
• \(A\times B=-B\times A\)。

旋转卡壳

平面最近点对

对一维进行分治，然后求出两边递归的最近点对距离 \(d\)。
考虑跨中线的贡献，发现直接每个点检查 \(d\) 为半径的正方形即可，因为这里面不会超过 \(O(1)\) 个点。
\(O(n\log n)\)。

最小圆覆盖

边界上至少有三个点。

P3829 [SHOI2012] 信用卡凸包

圆弧一定全算进凸包里头了，然后把直边的所有端点全部算一次凸包就好了。

P3260 [JLOI2014] 镜面通道

只要连通就能过，跑最小割。

P10651 [ROI 2017] 虎（征集交互库） (Day 1)

先在点集上二分一个凸包，现在我们知道隐藏点在一个凸包减去另一个凸包内，是一个月牙。
然后在月牙上二分一个前缀。如果是问了一个凹的点集直接变成凸包就好了。
最后可以确定到一个三角形内。

AT_agc044_e [AGC044E] Random Pawn

显然到达最大值就会退出，那么可以把 max 放到头尾。
你考虑你在 \(i\) 处开始的期望收益是 \(f_i\)，我们有：
\(f_i=\begin{cases}A_i\\ \frac{1}{2}(f_{i-1}+f_{i+1})-B_i \end{cases}\)
两种选择。

令 \(C_i=\frac{1}{2}(C_{i-1}+C_{i+1})-B_i\)，\(g_i=f_i-C_i\)。
有 \(g_i=\max(A_i-C_i,\frac{1}{2}(g_{i-1}+g_{i+1}))\)。
这就是直接对 \(A_i-C_i\) 建凸包。

• QOJ975 Game

简易版 LARSCH 算法

在线决策单调性 dp \(O(n\log n)\)。
令 \(f_i\) 表示 \(i\) 的 dp 值，\(op_i\) 表示 \(i\) 的决策点。
考虑分治 \([l,r]\)，对 \(r\) 进行转移。流程如下：

• 先用 \(f_{op_l\sim op_r}\) 更新 \(f_{mid},op_{mid}\)。
• 递归分治 \([l,mid]\)。
• 用 \(f_{l\sim mid}\) 更新 \(f_r,op_r\)。
• 递归分治 \((mid,r]\)。

以前写的四种决策单调性 dp 形式 https://www.luogu.com.cn/article/95ahsmez

AT_dwango2016qual_e 花火

\(f_{i,j}=(\min_{k\le j} f_{i-1,k})+|p_i-j|\)。slope trick 维护。

CF280E Sequence Transformation

\(f_{i,j}=(\min_{j-b\le k\le j-a} f_{i-1,k})+(x_i-j)^2\)。
slope trick，维护函数平移和全局加一次函数。

P8439 Altale (Fan-made FTR 7)

根若不在环上：根的邻边可以割，代价为 1。
根若在环上：除了与根相连的环边，代价都是 1。与根相连的边可以看作花 1 的代价可以割掉最大子树，花 2 代价割掉两个与根相连的环边。
令这两种决策分别割掉了 \(x,y\) 个节点。
若 \(x\le y-x\)，则可以拆成 \(x,y-x\) 两个代价为 1 的物品，直接排序贪心取。

剩下的就是 \(x>y-x\) 的。
按照两种决策性价比排序，代价为 2 的一定在前面。然后你类似 sale 一样，至多有一次反悔。排序换桶排就是 \(O(n)\) 的。

AT_abc355_g [ABC355G] Baseball

P9266 [PA 2022] Nawiasowe podziały

每段的代价 \(w\) 满足决策单调性，可以 wqs 二分。
然后内层做决策单调性分治，代价用莫队跑，做到 \(O(n\log ^2 n)\)。