【题解】P5548 [BJ United Round #3] 押韵

\([1] (\sum_{i=1}^k x_i)^{nd}\)，指数对 \(d\) 取模。
单位根反演，假设 \(x_i\) 取值为 \(\omega_{d}^{\alpha_i}\)，则可以写作 \([\frac{y^{nd}}{(nd)!}]\prod_i e^{\omega_d^{\alpha_i}}\)。
也就是 \(\frac{1}{d^k}[\frac{y^{nd}}{(nd)!}](\sum_{j=0}^{d-1} e^{\omega_{d}^j})^k\)。

• \(d\le 3\)：可以直接 \(O(k^{d-1})\) 暴力枚举每种取了多少个，是容易的。
• \(d=4\)：
  由于 \(\omega_4^2=-1\)，这对应了平面上游走 \(k\) 步，一个游走方案的权值是 \((x+y\omega_4)^{nd}\)，求所有游走方案的权值和。一个点 \((x,y)\) 作为终点的方案数，可以考虑将平面转 \(45^{\circ}\)，这样变成去到 \((|x-y|,|x+y|)\)，方案数为 \(\binom{k}{\frac{k+|a-b|}{2}}\binom{k}{\frac{k+|a+b|}{2}}\)。

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• \(d=6\)：

由于 \(\omega_6^3=-1,x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)，其中 \(x^2-x+1=0\)，所以也可以对应到二维平面上的游走。若当前在 \((0,0)\)，可以按照直线 \(x=0,y=0,y=-x\) 走。

考虑设 \(F(x,y)=x+x^{-1}+y+y^{-1}+xy^{-1}+x^{-1}y\)，我们要求 \(G(x,y)=F^k(x,y)\)。
对 \(x\) 求偏导：\(\frac{\partial G}{\partial x}=k\frac{\partial F}{\partial x}\times F^{k-1}\)，则 \(F\frac{\partial G}{\partial x}=k\frac{\partial F}{\partial x}G\)。

\[\begin{aligned} (x+x^{-1}+y+y^{-1}+xy^{-1}+x^{-1}y)G'&=k(1-x^{-2}+y+y^{-1}-x^{-2}y)G\\ g'_{m-1}(1+y^{-1})+g'_{m+1}(1+y)+g'_{m}(y+y^{-1})&=k(g_{m+2}(-1-y)+g_{m}(1+y^{-1}))\\ mg_{m}(1+y^{-1})+(m+2)g_{m+2}(1+y)+(m+1)g_{m+1}(y+y^{-1})&=k(g_{m+2}(-1-y)+g_{m}(1+y^{-1}))\\ g_{m+2}(m+2+k)(1+y)&=kg_{m}(1+y^{-1})-mg_{m}(1+y^{-1})-(m+1)g_{m+1}(y+y^{-1})\\ (u+2+k)(g_{u+2,v}+g_{u+2,v-1})&=kg_{u,v}+kg_{u,v+1}-ug_{u,v}-ug_{u,v+1}-(u+1)g_{u+1,v-1}-(u+1)g_{u+1,v+1} \end{aligned} \]

该方法同样适用于 \(d=4\)。