【题单】wmr & zzy 第五次讲题

P13559 【MX-X15-T6】翻树树

找到一个 \(B\)，\(\deg > B\) 的直接每个花 2 的代价处理。
对于 \(B\le \deg\) 的每次染黑一个叶子，花费 B 的代价。
发现这样是对的，可以严格证明。

P8330 [ZJOI2022] 众数

将问题改为选出两个数 \(x,y\)，并划定一个区间 \([l,r]\) 满足 \(occ(x,[1,l)\cup (r,n])+occ(y,[l,r])\) 最大。
上述这个问题在知道 \(x,y\) 后可以将 \(y\) 的权值设为 1，\(x\) 的权值设为 \(-1\)，求一个最大子段和，再加上 \(x\) 的出现次数即可。

根号分治。

• 对于 \(\max(occ_x,occ_y)>B\)：
  • 对于 \(occ_y>B\)：直接对序列扫描线，维护 \(\frac{n}{B}\) 种 \(y\) 的前缀和。
  • 对于 \(occ_x>B\)：类似做。
• 对于 \(\max(occ_x,occ_y)\le B\)：
  • 考虑枚举 \(x\) 所有出现的位置构成的区间，这样的区间有 \(O(nB)\) 个。
  • 需要在这些区间内 \(O(1)\) 询问出众数出现次数。
  • 注意到众数出现次数不会超过 \(B\)，故考虑预处理一个表 \(f_{i,j}\) 表示 \([i,r]\) 内众数出现次数不会超过 \(j\)。
  • 这个表直接对于每个 \(j\) 双指针一次就算出来了。

QOJ9479 And DNA

考虑最低位：

• \(m\bmod 2=0\)：最低位只能是全 0 或者全 1。
• \(m\bmod 2=1\)：最低位只能是 \(01,011\) 的拼接，故可以设 \(g_n\) 表示长度是 \(n\) 的方案数，有 \(g_{n}=g_{n-2}+g_{n-3},g_2=2,g_3=3\)。

那么递归

\[f(n,m)= \begin{cases} f(n,\frac{m}{2})+f(n,\frac{m}{2}-1)& m\bmod 2=0\\ f(n,\frac{m-1}{2})g_n & m\bmod 2=1 \end{cases} \]