【题解】P3689 [ZJOI2017] 多项式

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\(f^2(x)=f(x^2)\)，故对 \(m\) 二进制分解后 \(f^m(x)=\prod_{m_i=1} f(x^{2^i})\)。
考虑求 \([x^n]f^m(x)\)，可以使用数位 dp：\(F_{i,j/2}=[j\bmod 2=n_i]\begin{cases}\sum_{[x^k]f(x)=1} F_{i-1,j-k} & m_i=1\\ F_{i-1,j} & m_i=0 \end{cases}\)，在 mod 2 意义下进行。
这样 \(j\le \deg f\)，可以使用状压压缩 dp 数组，建立自动机，每个点有 \(4\) 条出边。那么自动机最终到达的节点 \(u\)，其奇偶性即代表了 \([x^n]f^m(x)\)。

先把 DFA 变成从高位往低位做的，然后把询问差分变成 \(< r\) 有几个 \(t\)。
按照数位 dp 的思路，计数 \([x,x+2^i)\) 这个区间内的 \(t\) 的数量，而跨过区间可以通过手动计算区间前 \(|t|\) 个和后 \(|t|\) 个位置，然后暴力 check。

设 \(G_{i,u}\) 表示当前考虑第 \(i\) 位，自动机节点是 \(u\)，得到的字符串是什么。
那么有 \(G_{i,u}=G_{i-1,\mathtt{Trans}(u,0,m_i)}+G_{i-1,\mathtt{Trans}(u,1,m_i)}\)，可以通过倍增处理。记得同时维护 \(pre_{i,u}\) 和 \(suf_{i,u}\) 表示前后缀 \(|t|\) 个字符是什么。

时间复杂度 \(O(2^n\log^2 r)\)。