【题解】AT_agc069_e [AGC069E] Pair of Sequences

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答案等于 \([x^Xy^Yz^n]\prod_{i=0}^{m-1}(1+\frac{z}{1-xy^i})=\prod_{i=0}^{m-1} \frac{(z+1)-xy^i}{1-xy^i}\)。
不妨令 \(f(x,y)=\prod_{i=0}^{m-1}((z+1)-xy^i)\)，则 \(f(xy,y)=\prod_{i=1}^{m}((z+1)-xy^i)\)。
则有 \(((z+1)-xy^m)f(x,y)=((z+1)-x)f(xy,y)\)。
令 \(g_i=[x^i]f(x,y)\)，对比系数：\((z+1)g_i-y^mg_{i-1}=(z+1)y^ig_{i}-y^{i-1}g_{i-1}\)。
整理得到 \(g_i=\frac{y^m-y^{i-1}}{(z+1)(1-y^i)}g_{i-1}\)。对于 \(g_0=(z+1)^m\)。
对 \(\prod_{i=0}^{m-1} \frac{1}{1-xy^i}\) 使用同样的手法，得到 \(h_i=\frac{1-y^{m+i-1}}{1-y^i}h_{i-1},h_0=1\)。

组合答案：

\[\begin{aligned} &[y^Yz^n]\sum_{j=0}^{X} \left( (z+1)^{m-j}\prod_{i=1}^{j} \frac{y^m-y^{i-1}}{1-y^i} \right)\left( \prod_{i=1}^{X-j} \frac{1-y^{m+i-1}}{1-y^i} \right)\\ =& [y^Y] \sum_{j=0}^{X} \binom{m-j}{n}\left( \prod_{i=1}^{j} \frac{y^m-y^{i-1}}{1-y^i} \right)\left( \prod_{i=1}^{X-j} \frac{1-y^{m+i-1}}{1-y^i} \right)\\ =& \sum_{j=0}^{X} \binom{m-j}{n}[y^Y]y^{\frac{j(j-1)}{2}}\left( \prod_{i=1}^{j} \frac{y^{m-i+1}-1}{1-y^i} \right)\left( \prod_{i=1}^{X-j} \frac{1-y^{m+i-1}}{1-y^i} \right)\\ \end{aligned} \]

那么只有前 \(O(\sqrt Y)\) 项是有用的，先预处理 \(j=0\)，然后 \(j\to j+1\) 的时候可以 \(O(Y)\) 更新。
时间复杂度 \(O(Y\sqrt Y)\)。