【题解】P17064 [JRKSJ R10 热身赛] Infinite Strife,

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\(a_n=[x^n](1+x+x^2)^n\)。
考虑 \((1+x+x^2)^{11}=1+x^{11}+x^{22}\)。
那么分解 \(n\) 为 \(11\) 进制：\(\sum_{i} \alpha_i11^{i}\)，则可以表示为 \(a_n=[x^n]\prod_{i=0} (1+x^{11^i}+x^{2\times 11^i})^{\alpha_i}\)。
考虑 \(0\le \alpha_i\le 10\)，设 \((1+x^{11^i}+x^{2\times 11^i})^{\alpha_i}\) 选择了 \(x^{\beta_i\times 11^i}\) 这一项进行贡献，那么有 \(0\le \beta_i\le 2\alpha_i\)。要求 \(\sum_{i} \beta_i11^i=\sum_i \alpha_i 11^i\)。

考虑上式在 \(\bmod 11\) 意义下是 \(\beta_0\equiv \alpha_0 \pmod {11}\)。发现根据 \(\beta_0\) 的范围，可以得到 \(\beta_0=\alpha_0\)。
那么可以同时去掉最低位然后归纳证明。于是 \(\forall i,\beta_i=\alpha_i\)。
可以预处理一个表 \(F_{i}\) 表示 \(\alpha=i\) 时的方案数，则 \(a_n\) 可以通过对 \(n\) 分解质因数后得到是 \(\prod_i F_{\alpha_i}\)。

考虑 \(\prod_{i=1}^{n} {a_i}^{\binom{n-i+c-1}{c-1}}=\prod_{d=0}^{10} (F_{d})^{C(d)}\)，其中 \(C(d)\) 表示所有 \(i\) 11 进制分解后数位是 \(d\) 的个数乘上 \(\binom{n-i+c-1}{c-1}\) 之和。
对于每个 \(C(d)\)，拆位处理，那么每一位是类似求很多个组合数上指标区间和。\(\sum_{i=l}^{r} \binom{i+c-1}{c-1}=\binom{r+c}{c}-\binom{l-1+c}{c}\)。
每个都是形如 \(\binom{11^{k}i+b+c}{c}\)，注意是在 \(\bmod 10\) 意义下，需要 CRT 合并。
根据卢卡斯定理，显然有循环节，且是 \(O(c)\) 级别的。

复杂度大概是 \(O(T11^2c\log_{11} n)\)，可以通过。