【题解】P14321 「ALFR Round 11」D Adjacent Lifting, Fewest Rounds

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显然是让所有数变成同奇偶的最小代价，而奇数和偶数总有一个是有偶数个的。有偶数个的那个人去进行两两相邻配对，这样达到最小值。
假设有偶数的那个是 \(c\) 个。现在只用关心每个数是属于哪一类，最后乘上阶乘。
枚举所有 \(i,j\) 的贡献：

\[\begin{aligned} &\sum_{i<j} (j-i)\sum_{k=0}^{(c-2)/2}\binom{i-1}{2k}\binom{n-j}{c-2-2k}\\ =&\sum_{k=0}^{(c-2)/2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{}j\binom{i-1}{2k}\binom{n-i-j}{c-2-2k}\\ =&\frac{c}{2}\sum_{j=1}^{}j\binom{n-j}{c-1}\\ =&\frac{c}{2}\sum_{j}(n+1-(j+1))\binom{j}{c-1}\\ =&\frac{c}{2}((n+1)\binom{n}{c}-\sum_{j=0}^{n-1} (j+1)\binom{j}{c-1})\\ =&\frac{c}{2}((n+1)\binom{n}{c}-c(\binom{n+1}{c+1}-\binom{0}{c}))\\ =&\frac{c}{2}\binom{n+1}{c+1}\\ \end{aligned} \]