【题解】AT_code_festival_2017_quala_e Modern Painting

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一定有某个方向是被一个人贯穿的。不妨假设这个方向是竖着的，那么算完后转置再做一次。
那么可以按照这个分割线切开，变成只有三个方向有人。以此类推最后只剩下一个方向有人。
分别讨论这些的方案数。

• 一个方向：显然他们只能一直走到头。方案数是 1。
• 两个方向：假设两个方向分别有 \(a,b\) 个人。如果我们选择一个人走到头，那么被他挡住的人也必须走到头。那么就是归并，答案为 \(\binom{a+b}{a}\)。
• 三个方向：假设中间方向有 \(c\) 个人，两边方向分别有 \(a,b\) 个人。那么方案数是 \(\sum_{i+j<c} \binom{i+a-1}{a-1}\binom{j+b-1}{b-1}\)。注意这里 \(a,b\) 要减一，换方向后是强制先走另一个方向的人的。
  \(\sum_{i}\binom{i+a-1}{a-1}\sum_{j=0}^{c-i-1}\binom{j+b-1}{b-1}=\sum_{i} \binom{i+a-1}{a-1}\binom{c-i-1+b}{b}=\binom{a+b+c-1}{a+b}\)。

回到原问题，那么就是选择两个竖着的人，他们中间的人是确定的，然后旁边两侧就是三个方向，容易 \(O(n)\) 维护。
注意：

• 两个人对撞方案数是 2。
• 没有人的时候方案数是 1。
• 三个方向时中间没有人时要求两侧也没有人才是 1。