【题解】P5850 calc加强版

https://www.luogu.com.cn/problem/P5850

GF：\(n![x^n]\prod_{i=1}^k (ix+1)\)。
重点考虑后面那个多项式如何求：

\[\begin{aligned} F(x)&=\exp(\sum_{i=1}^k \ln(ix+1))\\ &=\exp(\sum_{i=1}^k -\sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-ix)^j}{j})\\ &=\exp(-\sum_{j=1}^\infty \frac{x^j(-1)^j\sum_{i=1}^k i^j}{j} ) \end{aligned} \]

需要处理出所有 \(1,2,3,\cdots,k\) 的自然数幂和。\([\frac{x^k}{k!}]e^{nx}=n^k\)，所以我们可以计算 \(\sum_{i=1}^{k} e^{ix}=\frac{1-e^{(k+1)x}}{1-e^x}\)，这样 \([\frac{x^i}{i!}]\) 就对应了自然数 \(i\) 次幂和。
复杂度 \(O(n\log n)\)。