【APIO 2026】比赛 & 试题题解

GD-073，35+15+40=90。铁

比赛

开赛，发现 T1 是个 employ 状物，T2 是 adhoc，T3 是邻域+数据结构。

T1 想了一整场，最后一小时发现不太行了赶紧打了 T2 T3 暴力跑路。

• 启示：消除 adhoc 恐惧症。

T1 上升 ascend

容斥：\(\sum_a \prod_i ([f_i(a)=0]+[f_i(a)=1]w_i)\Rightarrow \sum_a \prod_i ([f_i(a)=0](1-w_i)+w_i)\)。
钦定下降的位置有 \(1-w_i\) 的贡献，没有钦定的位置贡献为 \(w_i\)。下降段有一个性质，每个段只会有不超过一个确定的元素。

设计 dp，一个一个位置填，同时我们肯定要考虑值域的情况。
不妨设前缀 max 为 \(v\)，那么 \(v\) 所在段中 \(v\) 右侧的可以直接用组合数计算，所以我们需要计算 \(\le v\) 的数的个数。这样会涉及到大于 \(v\) 的数，我们需要确定这部分的相对顺序，才可以在两个前缀 max 之间转移。
所以状态设为 \(f_{i,c}\) 表示前 \(i\) 个数有 \(c\) 个 \(\le v\)，方案数是多少。

那么枚举上一个分界点 \(j\)，前缀 max 是 \(v'\)，从 \(f_{j,c}\) 转移过来。则 \(q_{(j,i]}\) 内有不超过一个确定的元素。

• 若不存在确定的元素：枚举分界点 \(k\)，\(q_{(j,k]}\) 大于 \(v\)，\(q_{(k,i]}\) 小于等于 \(v\)。
  • 转移系数：\(\binom{k-c}{k-j}\binom{v-c}{i-k}\)，转移到 \(f_{i,c+i-k}\)。
• 存在确定的元素：即上述转移中 \(k\) 确定了，然后还要选出 \(q_{[1,j]}\) 中 \(\le v\) 的元素有几个，设为 \(x\)。
  • 转移系数：\(\binom{v-v'}{x}\binom{k-c-x}{k-j}\binom{v-c-x-1}{i-k-1}\)，转移到 \(f_{i,c+i-k+x}\)。

分步转移复杂度就是 \(O(n^3)\)。

T2 蛋糕 cake

subtask 1：加入 \(W,W+1,W+2,W+3,\cdots,W+100\)，暴力询问。

subtask 2：加入 \(3,5\)，查询 \(a_0+a_1\) 和 \(a_2\) 的大小关系。

subtask 3：倍增二分。
如果我们想要查询 \(x\) 和 \(2^i\) 的大小关系，我们可以加入 \(2^0\sim 2^{30}\)，并询问 \(a_0+\cdots+a_{i-1}\) 和 \(a_i\) 的大小关系。
如果 \(x\ge 2^i\) 一定返回后者更大。这样可以给 \(x\) 减去 \(2^i\) 继续做。
然后是 \(x\) 和 1 比较大小，这需要多插入一个 1 然后问是否相等就好。

subtask 4：
二分并没有用到等于的性质。考虑到 \(3^K\ge W\)，把返回值的信息利用完全。
加入 \(1,2,3,\cdots,W\)，那么考察差分数组，我们要找到那个 0。
将差分数组平均分成三份，考虑其中两份，如果不相等那么 0 就在剩下那一份，否则递归这两份中的一个。
由于可能不是 3 的倍数，所以我们要用 \(W,W+1\) 来处理余数。

T3 集宝 gems

考虑 \(l=1,r=m\)。
令 \(S_i\) 表示 \((a_i,d_i)\) 构成的邻域。如果存在 \(S_{i}\cap S_{i+1}\ne \varnothing\)，那么这两个邻域可以变为他们的交，走到的节点和距离都不变。
那么考虑每次找到最大的 \(r'\) 满足 \(R=\bigcap_{i=l}^{r'} S_i\ne \varnothing\)，那么我们就可以走到 \(R\) 中距离 \(x\) 最近的节点。
然后是 \(R\cap S_{r'+1}=\varnothing\)，所以我们要先走到 \(R\) 中距离 \(S_{r'+1}\) 最近的点，设这个点为 \(nxt_l\)。
那么递归 \(l\leftarrow r'+1,x\leftarrow nxt_l\) 就好。

现在面临的问题是：

• 邻域交的表示，以及找到邻域交到 \(x\) 最近的那个点。
• 预处理 \(f_i\) 表示 \(i\) 到 \(f_i\) 的邻域交非空。
• \(nxt_l\) 如何处理。
• 最后一段 \(f_i>r\)，需要单独处理 \(R=\bigcap_{i=l}^{r} S_i\)。

邻域交：若有一个点 \(u\)，现在判定是否都在邻域 \((o_i,r_i)\) 内。即判定是否有 \(\max_i dis(o_i,u)-r_i\le 0\)。
\(r_i\) 可以视作 \(o_i\) 上挂上一条边，那么只需要保留两个邻域即可求出最大值。那么判定交是否为空也是好做的。

到邻域交最近的点：距离为 \(\max(dis(u,o_1)-r_1,dis(u,o_2)-r_2)\)，在邻域有交时必然可以取到。
找到这个点取在哪里可以通过树上 \(k\) 级祖先处理。

\(nxt_l\) 求解：类似上面，找到距离 \(a_{r'+1}\) 最近的点即可。

使用线段树维护区间邻域交查询，\(f_i\) 可以在线段树上二分。
需要维护：\(O(1)\) LCA，\(O(\log n)\) 树上 k 级祖先。
复杂度 \(O((m+q)\log m)\)。