【题解】P13780 「o.OI R2」愿天堂没有分块

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\(\mathrm{mex}\) 理论：

• 极小 mex 区间：不存在 \(\mathrm{mex}(l,r)=\mathrm{mex}(L,R)\)，满足 \([l,r]\subset[L,R]\)。
• 结论：极小 mex 区间只有不超过 \(2n\) 个。
  • 显然 \(a_{l}\ne a_r\)，否则可以删除其中之一。
  • 有 \(\mathrm{mex}(l+1,r-1)=\min(a_l,a_r)\)，因为加入后 mex 发生改变。不妨假设 \(a_l<a_r\)。
  • 由于 \(\mathrm{mex}\) 单调不降，所以 \(\mathrm{mex}(l+1,r-1)=a_l\) 的情况只会有至多 1 个最小的 \(r\) 满足这个条件。
  • \(a_l>a_r\) 同理，所以只有 \(O(n)\) 个极小 mex 区间。
• 求解极小 mex 区间：
  • 设 \(a_l<a_r\)。
  • 显然 \([l+1,r-1]\) 中没有出现过 \(a_l\)。考虑删除 \(a_r\) 后，\(\mathrm{mex}(l,r-1)=a_r\)，设其对应的极小 mex 区间为 \([l',r']\)，则 \(a_l\) 在该区间中出现了，即有 \(l'=l\)。
  • 所以极小 mex 区间是由另一个极小 mex 区间拓展一个端点得到的。
  • 使用 vector 维护所有的 \(\mathrm{mex}=x\) 的极小 mex 区间，找到第一个 \(a_x=\mathrm{mex}(l,r)\)，求区间 mex 可以通过主席树处理（扫描线维护 \(lst\) 数组）。
  • 注意求出来的可能不是极小的，所以要排除。

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那么把询问离线，扫描线，维护所有极小 mex 区间 \([l',r']\) 满足 \(r'\le r\) 的 \(l'\) 最大值。
这样就可以在线段树上二分求解 mex mex 了。