分散层叠

P6466 【模板】分散层叠算法（Fractional Cascading）

• 给出 \(k\) 个长度和为 \(N\) 的序列，\(q\) 次询问：
  • 给出 \(x\)，问他在这 \(k\) 个序列中的非严格后继。

建立线段树，叶子就是原序列。
对于某个节点，我们分别在其左右儿子的序列中每隔 \(p\) 个数就取一个数，得到两个序列 \(L,R\)，然后归并得到这个节点的序列。
查询的时候，假设我们知道了当前这个节点内 \(x\) 的后继，需要知道 \(x\) 分别在左右子树内的后继。
提前预处理节点内序列每个数的不同子树后继，然后发现只用检查当前找到的后继前 \(p\) 个数是否是合法的。
令 \(p=2\)，这样复杂度是 \(O(N)-O(k+\log N)\)，空间 \(O(N)\)。

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• 给出序列 \(a\)，多次询问：
  • 给出 \(l,r,k\)，问区间内比 \(k\) 小的数有多少个。

考虑类似上面，但是我们稀疏取样后得到的序列要和当前节点的序列归并，这样空间复杂度 \(O(n\log n)\)，查询复杂度 \(O(\log n)\)。