【题解】P5517 [MtOI2019] 幻想乡数学竞赛

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\[F=3xF+x^2F-3x^3F+\frac{1}{1-3x}-4\Rightarrow F=\frac{1}{1-3x-x^2+3x^3}(\frac{1}{1-3x}-4) \]

因式分解

\[F=\frac{1}{(3x-1)(x-1)(x+1)}\times \frac{12x-4+1}{1-3x}=\frac{12x-3}{(1-3x)^2(1-x)(x+1)} \]

可以解待定系数方程

\[\frac{a}{(1-3x)^2}+\frac{b}{1-3x}+\frac{c}{1-x}+\frac{d}{1+x}=\frac{12x-3}{(1-3x)^2(1-x)(1+x)} \]

\[\begin{cases} a+b+c+d=-3\\ -3b-5c-7d=12\\ -a-b+3c+15d=0\\ 3b+9c-9d=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=\frac{9}{8}\\ b=-\frac{153}{32}\\ c=\frac{9}{8}\\ d=-\frac{15}{32} \end{cases} \]

则 \(a_i=\frac{9}{8}\times 3^i(i+1)-\frac{153}{32}\times 3^i+\frac{9}{8}-\frac{15}{32}(-1)^i\)。