【WC 2026】fsz 数学

群论

• 定义 \((G,\cdot)\)：封闭性、结合律、单位元、逆元。
  • 单位元唯一、逆元唯一、逆元自反性。
• 陪集：对于群 \((G,\cdot)\) 子群 \(H\) 和 \(g\in G\)，定义 \(gH\) 是 \(H\) 的陪集。
  • \(\forall g\in G,|gH|=|H|\)。
  • \(\forall g\in G,gH=H\Leftrightarrow g\in H\)。
  • \(\forall g_1\)，要么 \(g_2\in G,g_1H=g_2H\)，要么 \(g_1H\cap g_2H=\varnothing\)。
• 定义簇 \(G/H\) 表示 \(\{gH\mid g\in G\}\)。当 \(G\) 有限时，有 \(|G/H|\cdot |H|=|G|\)。
• 群作用：\(G\times X\rightarrow X\)。
• 轨道：定义 \(x\in X,\operatorname{orbit}(x)=Gx=\{g\star x\mid g\in G\}\)。
• 稳定子：定义 \(x\in X,\mathrm{Stab}(x)=\{g\mid g\in G,g\star x=x\}\)。
  • \(\mathrm{Stab}(x)\) 是 \(G\) 的子群。
  • 可以定义 \(G/\mathrm{Stab}(x)\)。
• 轨道-稳定子定理：\(|\mathrm{Stab}(x)|\cdot |\mathrm{orbit}(x)|=|G|\)。
  • 证明：考虑双射 \(\varphi: G/\mathrm{Stab}(x)\rightarrow\mathrm{orbit}(x)\)。
  • \(g\mathrm{Stab}(x)\mapsto gx\)，设有 \(g_1\mathrm{Stab}(x)=g_2\mathrm{Stab}(x)\)，则存在 \(g\in\mathrm{Stab}(x),g_1g=g_2\)。
  • 故有 \(g_2\star x=(g_1g)\star x=g_1\star( g\star x)=g_1\star x\)。
• Burnside 引理：设群 \(G\) 作用在集合 \(X\)，记 \(X/G\) 表示 \(\{Gx\mid x\in X\}\)，\(X^g\) 表示 \(\{x\in X\mid g\star x=x\}\)。则 \(|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|\)。
  • 证明：\(|X/G|=\sum_{x\in X}\frac{1}{|Gx|}=\sum_{x\in X} \frac{|\mathrm{Stab}(x)|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in X}\sum_{g\in G}[g\star x=x]=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|\)。
• 置换群：设 \(X\) 是一个非空集合，对于双射 \(f:X\rightarrow X\)，他和 \(X\) 构成群 \((X,f)\)，记作 \(Sym(X)\)。当 \(X=\{1,2,3,\cdots,n\}\) 时，可以记作 \(S_n\)。
• Polya 定理：\(n\) 个元素，每个元素都可以染上 \(m\) 中颜色之一。置换群 \(S_n\) 的子群 \(G\)，方案书是 \(\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}m^{\mathrm{cyc}(g)}\)。

图同构计数
把边的存在性改成完全图黑白染色。考虑边之间的映射关系 \((x,y)\rightarrow (p_x,p_y)\)，则考虑两个不同的、大小分别是 \(a,b\) 的点置换环，他们之间的边形成 \(\gcd(a,b)\) 个等价类。而一个点置换环内部的边则形成 \(\frac{a}{2}\) 个等价类。
我们可以暴力枚举每种置换环的个数。
\(p(19)=500,p(60)=10^6,p(100)=2\times 10^8\)。

线性规划
呜哇摆烂。

概率题目

• 停时期望：设 \(F(x)\) 表示停时的 PGF，有 \(F(1)=1,F'(1)=E(T)\)。也可以定义 \(G(x)\) 表示未停时的 PGF，有 \(G(1)=E(T)\)。

P4548 [CTSC2006] 歌唱王国
考虑在一个未停时状态后面接上 \(s\)，那么所有的 border 处可能产生停时。
即 \((\frac{z}{m})^nG(z)=\sum_{j\in Bd(s)}(\frac{z}{m})^{n-j} F(z)\)，带入 \(z=1\)。

AT_agc038_e [AGC038E] Gachapon
考虑枚举哪个数是最后取到的，那么其他的满足 \(\ge b_j\)，而他恰好是 \(b_j\)。
写出停时的 PGF：
\(1+(\mathcal{L}(\sum_{i=1}^n \frac{a_i^{b_i-1}z^{b_i-1}}{S^{b_i-1}(b_i-1)!}\prod_{j\ne i}(\exp(\frac{a_iz}{S})-\sum_{0\le k<b_j} \frac{a_j^kz^k}{S^k k!})))'(1)\)
其中 \(\mathcal{L}\) 表示拉格朗日算子，将 EGF 转为 OGF。\(S=\sum a\)。
考虑这个函数写成 \(\sum_{p,q} A_{p,q}z^p e^{\frac{qz}{S}}\)，可以背包求系数。
考虑 \(\mathcal{L}(z^pe^{qz})=\frac{z^pp!}{(1-qz)^{p+1}}\)。

P5326 [ZJOI2019] 开关
设 \(F\) 表示第一次停时的 PGF，\(G\) 表示某次停时后的停时 PGF，\(H\) 表示停时的 PGF。
有 \(F(z)G(z)=H(z)\)。
求 \((\frac{H}{G})'(1)=\frac{GH'-HG'}{G^2}(1)\)。

分别看 \(G\) 和 \(H\) 怎么求。
对于 \(\hat G(z)=\prod_{i=1}^n \frac{e^{\frac{p_iz}{S}}+e^{\frac{-p_iz}{S}}}{2}\)，\(\hat H(z)=\prod_{i=1}^{n} \frac{e^{\frac{p_iz}{S}}+(-1)^{s_i}e^{\frac{-p_iz}{S}}}{2}\)。

可以使用 \(O(nS)\) dp 求出 \(\sum a_ie^{\frac{iz}{S}}\) 的形式。
\(G(z)=\sum_{i} \frac{a_iS}{S-iz},G'(z)=\sum_{i} \frac{ia_iS}{(S-iz)^2}\)。

\[\begin{aligned} \frac{GH'-HG'}{G^2}(1)&=\frac{\sum_{i,j}(\frac{ja_ib_jS^2}{(S-iz)(S-jz)^2}-\frac{ia_ib_jS^2}{(S-iz)^2(S-jz)})}{\sum_{i,j} (\frac{a_ia_jS^2}{(S-iz)(S-jz)})}(1)\\ &=\frac{\sum_{i}(\frac{a_ib_SS^3}{S-i}-\frac{a_Sb_iS^3}{S-i})}{a_S^2S^2}\\ &=\frac{S}{a_S^2}\sum_i \frac{a_ib_S-a_Sb_i}{S-i} \end{aligned} \]